【答案】（1） $\frac { m ^ { \frac { 2 } { 3 } } g t } { h _ { 1 } }$ ；（2）油滴 A 不带电，油滴 B 带负电，电荷量为 $\frac { m g d ( h _ { 1 } + h _ { 2 } ) } { h _ { 1 } U } , - \frac { m g h _ { 2 } ( h _ { 1 } + h _ { 2 } ) } { h _ { 1 } }$ ；
（3）见解析
【解析】
【详解】（1）未加电压时，油滴匀速时的速度大小
$$
v _ {1} = \frac {h _ {1}}{t}
$$
匀速时
$$
m g = f
$$
又
$$
f = k m ^ {\frac {1}{3}} v _ {1}
$$
联立可得
$$
k = \frac {m ^ {\frac {2}{3}} g t}{h _ {1}}
$$
（2）加电压后，油滴A 速度不变，可知油滴A 不带电，油滴B最后速度方向向上，可知油滴B所受电的场力向上，极板间电场强度向下，可知油滴B带负电，油滴B向上匀速运动时，速度大小为
$$
v _ {2} = \frac {h _ {2}}{t}
$$
根据平衡条件可得
$$
m g + k m ^ {\frac {1}{3}} v _ {2} = \frac {U}{d} q
$$
解得
$$
q = \frac {m g d (h _ {1} + h _ {2})}{h _ {1} U}
$$
根据
$$
\Delta E _ {\mathrm{p}} = - W _ {\text {电}}
$$
又
$$
W _ {\text {电}} = \frac {U}{d} \cdot q h _ {2}
$$
联立解得
$$
\Delta E _ {\mathrm{p}} = - \frac {m g h _ {2} (h _ {1} + h _ {2})}{h _ {1}}
$$
（3）油滴B与油滴A 合并后，新油滴的质量为 $2 m$ ，新油滴所受电场力
$$
F ^ {\prime} = \frac {U q ^ {\prime}}{d} = \frac {m g (h _ {1} + h _ {2})}{h _ {1}}
$$
若 $F ^ { ' } > 2 m g$ ，即
$$
h _ {2} > h _ {1}
$$
可知
$$
v _ {2} > v _ {1}
$$
新油滴速度方向向上，设向上为正方向，根据动量守恒定律
$$
m v _ {2} - m v _ {1} = 2 m v _ {\text {共}}
$$
可得
$$
v _ {\text {共}} > 0
$$
新油滴向上加速，达到平衡时
$$
2 m g + k \cdot (2 m) ^ {\frac {1}{3}} v = F ^ {\prime}
$$
解得速度大小为
$$
v = \frac {h _ {2} - h _ {1}}{\sqrt [ 3 ]{2} t}
$$
速度方向向上；
若 $F ^ { ' } < 2 m g$ ，即
$$
h _ {1} > h _ {2}
$$
可知
$$
v _ {2} < v _ {1}
$$
设向下为正方向，根据动量守恒定律
$$
m v _ {1} - m v _ {2} = 2 m v _ {\text {共}} ^ {\prime}
$$
可知
$$
v _ {\text {共}} ^ {\prime} > 0
$$
新油滴向下加速，达到平衡时
$$
2 m g = F ^ {\prime} + k \cdot (2 m) ^ {\frac {1}{3}} v ^ {\prime}
$$
解得速度大小为
$$
v ^ {\prime} = \frac {h _ {1} - h _ {2}}{\sqrt [ 3 ]{2} t}
$$
速度方向向下。
