19．已知 $\{a_n\}$ 是等差数列， $a_2 + a_5 = 16, a_5 - a_3 = 4$．
（1）求 $\{a_n\}$ 的通项公式和 $\sum\limits_{i=2^{n-1}}^{2^n-1} a_i$．
（2）已知 $\{b_n\}$ 为等比数列，对于任意 $k \in \mathbb{N}^*$，若 $2^{k-1} \le n \le 2^k - 1$，则 $b_k < a_n < b_{k+1}$，
（I）当 $k \ge 2$ 时，求证： $2^k - 1 < b_k < 2^k + 1$；
（II）求 $\{b_n\}$ 的通项公式及其前 $n$ 项和．
参考答案
（1）$a_n = 2n + 1$，$\sum\limits_{i=2^{n-1}}^{2^n-1} a_i = 3 \times 2^{2n-1}$；（2）（I）证明见解析；（II）$b_n = 2^n$，前 $n$ 项和为 $2^{n+1} - 2$．