（12分）如图，长方体 A B C D-A_ 1 B_ 1…——2015 高考数学第 19 题答案解析

【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LJ：平面的基本性质及推论．
【专题】15：综合题；5F：空间位置关系与距离．
【分析】（I）利用平面与平面平行的性质，可在图中画出这个正方形；
（II）求出 $M H=\sqrt{E H^{2}-E M^{2}}=6, A H=10, H B=6$ ，即可求平面 $a$ 把该长方体分成的两部分体积的比值．

【解答】解：（I ）交线围成的正方形EFGH如图所示；
（II）作 $E M \perp A B$ ，垂足为 $M$ ，则 $A M=A_{1} E=4, E B_{1}=12, E M=A A_{1}=8$ ．
因为 $E F G H$ 为正方形，所以 $E H=E F=B C=10$ ，
于是 $M H=\sqrt{E H^{2}-E M^{2}}=6, A H=10, H B=6$ ．
因为长方体被平面 $\alpha$ 分成两个高为 10 的直棱柱，
所以其体积的比值为 $\frac{9}{7}$ ．

【点评】本题考查平面与平面平行的性质，考查学生的计算能力，比较基础．