（12分）如图，四棱锥 P-A B C D 中， A B…——2013 高考数学第 19 题答案解析

【考点】LW：直线与平面垂直；MK：点、线、面间的距离计算．
【专题】5F：空间位置关系与距离．
【分析】（I）取 BC 的中点 E ，连接 DE ，则 ABED 为正方形，过 P 作 $\mathrm{PO} \perp$ 平面 ABCD ，垂足为 $O$ ，连接 $O A, O B, O D, O E$ ，证明 $P B \perp O E, O E \| C D$ ，即可证明 $P B \perp C D$

（II）取 PD 的中点 F ，连接 OF ，证明 O 到平面 PCD 的距离 OF 就是 A 到平面 PCD 的距离，即可求得点 A 到平面 PCD 的距离．

【解答】（I）证明：取 BC 的中点 E ，连接 DE ，则 ABED 为正方形，过 P 作 $\mathrm{PO} \perp$ 平面 ABCD ，垂足为 O ，连接 $\mathrm{OA}, \mathrm{OB}, \mathrm{OD}, \mathrm{OE}$

由 $\triangle P A B$ 和 $\triangle P A D$ 都是等边三角形知 $P A=P B=P D$
$\therefore \mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OD}$ ，即 O 为正方形 ABED 对角线的交点
$\therefore \mathrm{OE} \perp \mathrm{BD}, \quad \therefore \mathrm{PB} \perp \mathrm{OE}$
$\because \mathrm{O}$ 是 BD 的中点， E 是 BC 的中点，$\therefore \mathrm{OE} \| \mathrm{CD}$
$\therefore \mathrm{PB} \perp \mathrm{CD}$ ；
（II）取 PD 的中点 F ，连接 OF ，则 $\mathrm{OF} \| \mathrm{PB}$
由（I）知 $P B \perp C D, ~ \therefore O F \perp C D$ ，
$\because \mathrm{OD}=\frac{1}{2} \mathrm{BD}=\sqrt{2}, \quad \mathrm{OP}=\sqrt{\mathrm{PD}^{2}-\mathrm{OD}^{2}}=\sqrt{2}$
$\therefore \triangle \mathrm{POD}$ 为等腰三角形，$\therefore \mathrm{OF} \perp \mathrm{PD}$
$\because \mathrm{PD} \cap \mathrm{CD}=\mathrm{D}, \quad \therefore \mathrm{OF} \perp$ 平面 PCD
$\because \mathrm{AE} \| \mathrm{CD}, \mathrm{CD} \subset$ 平面 $\mathrm{PCD}, \mathrm{AE} \nsubseteq$ 平面 $\mathrm{PCD}, \therefore \mathrm{AE} \|$ 平面 PCD
$\therefore \mathrm{O}$ 到平面 PCD 的距离 OF 就是 A 到平面 PCD 的距离
$\because \mathrm{OF}=\frac{1}{2} \mathrm{~PB}=1$
∴ 点 A 到平面 PCD 的距离为 1 ．

【点评】本题考查线线垂直，考查点到面的距离的计算，考查学生转化的能力 ，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．