2013 大纲卷 · 文 数学　·　真题与答案解析

1．（5分）设集合 $U=\{1,2,3,4,5\}$ ，集合 $A=\{1,2\}$ ，则 $C_{\cup} A=()$

2．（5分）若 $\alpha$ 为第二象限角， $\sin \alpha=\frac{5}{13}$ ，则 $\cos \alpha=$（ ）

3．（5分）已知向量 $\vec{\Pi}=(\lambda+1,1), \vec{n}=(\lambda+2,2)$ ，若 $(\vec{\Pi}+\vec{n}) \perp(\vec{\Pi}-\vec{n})$ ，则 $\lambda=$（ ）

4．（5分）不等式 $\left|x^{2}-2\right|<2$ 的解集是（ ）

5．（5分）$(x+2)^{8}$ 的展开式中 $x^{6}$ 的系数是（ ）

6．（5分）函数 $f(x)=\log _{2}\left(1+\frac{1}{x}\right)(x>0)$ 的反函数 $f^{-1}(x)=(\quad)$

7．（5分）已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $3 a_{n+1}+a_{n}=0, a_{2}=-\frac{4}{3}$ ，则 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 10 项和等于

8．（5分）已知 $F_{1}(-1,0), F_{2}(1,0)$ 是椭圆 $C$ 的两个焦点，过 $F_{2}$ 且垂直于 $x$轴的直线交椭圆于 $A , B$ 两点，且 $|A B|=3$ ，则 $C$ 的方程为（ ）

9．（5分）若函数 $y=\sin (\omega x+\phi)(\omega>0)$ 的部分图象如图，则 $\omega=(\quad)$

10．（5分）已知曲线 $y=x^{4}+a x^{2}+1$ 在点（ $-1, a+2$ ）处切线的斜率为 $8, a=$（

11．（5分）已知正四棱柱 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，$A A_{1}=2 A B$ ，则 $C D$ 与平面 $B D C_{1}$ 所成角的正弦值等于（ ）

12．（5分）已知抛物线 $C$ ：$y^{2}=8 x$ 的焦点为 $F$ ，点 $M(-2,2)$ ，过点 $F$ 且斜率为 $k$的直线与 $C$ 交于 $A$ ，$B$ 两点，若 $\overrightarrow{M A} \cdot \overrightarrow{M B}=0$ ，则 $k=$

13．（5分）设 $f(x)$ 是以 2 为周期的函数，且当 $x \in[1,3)$ 时，$f(x)=x-2$ ，则 $f(-1)=$ $\_\_\_\_$ －1 ．

14．（5分）从进入决赛的 6 名选手中决出 1 名一等奖， 2 名二等奖， 3 名三等奖，则可能的决赛结果共有 $\_\_\_\_$ 60种．（用数字作答）

15．（5分）若 $x , y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}x \geqslant 0 \\ x+3 y \geqslant 4 \\ 3 x+y \leqslant 4\end{array}\right.$ 则 $z=-x+y$ 的最小值为 0 。

16．（5分）已知圆 O 和圆 K 是球 O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球 O 的半径， $\mathrm{OK}=\frac{3}{2}$ ，且圆 O 与圆 K 所在的平面所成角为 $60^{\circ}$ ，则球 O 的表面积等于 $16 \pi$

17．（10分）等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{7}=4, a_{19}=2 a_{9}$ ，
（I）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）设 $\mathrm{b}_{\mathrm{n}}=\frac{1}{\mathrm{n} \mathrm{a}_{\mathrm{n}}}$ ，求数列 $\left\{\mathrm{b}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的前 n 项和 $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}$ ．

18．（12分）设 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的内角对边分别为 $a, b, c$ ，满足 $(a+b+c$ ）$(a-b+c)=a c$.
（I）求B．
（II）若 $\sin \mathrm{A} \sin \mathrm{C}=\frac{\sqrt{3}-1}{4}$ ，求C．

19．（12分）如图，四棱锥 $P-A B C D$ 中，$\angle A B C=\angle B A D=90^{\circ}, B C=2 A D, \triangle P A B$ 与 $\triangle$ PAD都是边长为 2 的等边三角形。
（I）证明： $\mathrm{PB} \perp \mathrm{CD}$ ；
（II）求点A到平面 PCD 的距离．

20．（12分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为 $\frac{1}{2}$ ，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判．
（I）求第4局甲当裁判的概率；

## （II）求前 4 局中乙恰好当 1 次裁判概率．

21．（12分）已知函数 $f(x)=x^{3}+3 a x^{2}+3 x+1$ ．
（I）求 $a=\sqrt{2}$ 时，讨论 $f(x)$ 的单调性；
（II）若 $x \in[2,+\infty)$ 时，$f(x) \geq 0$ ，求 $a$ 的取值范围．

22．（12分）已知双曲线C：$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$

，$F_{2}$ ，离心率为 3 ，直线 $y=2$ 与 $C$ 的两个交点间的距离为 $\sqrt{6}$ ．
（1）求 $a$ ，$b$ ；
（II）设过 $F_{2}$ 的直线 $l$ 与 $C$ 的左、右两支分别相交于 $A$ 、 $B$ 两点，且 $\left|A F_{1}\right|=\left|B F_{1}\right|$ ，证明：$\left|A F_{2}\right|$ 、 $|A B|$ 、 $\left|B F_{2}\right|$ 成等比数列。