【答案】（1） $\sqrt { 3 } m$ ；（2）6.5mg；（3） $( 4 - 2 \sqrt { 3 } ) m g L$
【解析】
【详解】（1）系统在如图虚线位置保持静止，以C为研究对象，根据平衡条件可知
$$
m _ {c} g = 2 m g \cos 3 0 ^ {\circ}
$$
解得
$$
m _ {c} = \sqrt {3} m
$$
> ②CD 碰后C的速度为零，设碰撞后D 的速度v，根据动量守恒定律可知
$$
\sqrt {3} m \sqrt {\frac {3 g L}{5}} = \sqrt {3} m \times 0 + 2 m v
$$
解得
$$
v = \frac {3}{2} \sqrt {\frac {g L}{5}}
$$
CD 碰撞后D 向下运动 $\frac { L } { 1 0 }$ 距离后停止，根据动能定理可知
$$
0 - \frac {1}{2} \times 2 m v ^ {2} = 2 m g \frac {L}{1 0} - F \frac {L}{1 0}
$$
解得
$$
F = 6. 5 m g
$$
> ③设某时刻C向下运动的速度为 $\nu ^ { \prime }$ ， $A B$ 向上运动的速度为v，图中虚线与竖直方向的夹角为 $\alpha ,$ ，根据机械能守恒定律可知
$$
\frac {1}{2} m _ {c} v ^ {\prime 2} + 2 \times \frac {1}{2} m (v ^ {\prime} \cos \alpha) ^ {2} = m _ {c} g \frac {L}{\tan \alpha} - 2 m g (\frac {L}{\sin \alpha} - L)
$$
$$
y = m _ {c} g \frac {L}{\tan \alpha} - 2 m g (\frac {L}{\sin \alpha} - L)
$$
对上式求导数可得
当 ${ \frac { d y } { d \alpha } } = 0$ 时解得
$$
\frac {d y}{d \alpha} = \sqrt {3} m g L \frac {- 1}{(\sin \alpha) ^ {2}} + 2 m g L \frac {\cos \alpha}{(\sin \alpha) ^ {2}}
$$
$$
\cos \alpha = \frac {\sqrt {3}}{2}
$$
即
$$
\alpha = 3 0 ^ {\circ}
$$
此时
于是有
解得
$$
y = m _ {c} g \frac {L}{\tan \alpha} - 2 m g (\frac {L}{\sin \alpha} - L) = m g L
$$
$$
\frac {1}{2} m _ {c} v ^ {\prime 2} + 2 \times \frac {1}{2} m (v ^ {\prime} \cos \alpha) ^ {2} = m g L
$$
$$
v ^ {' 2} = \frac {g L}{\frac {3}{4} + \frac {\sqrt {3}}{2}}
$$
此时C的最大动能为
$$
E _ {k m} = \frac {1}{2} m _ {c} v ^ {\prime 2} = (4 - 2 \sqrt {3}) m g L
$$
