已知 a>0, b>0, a^ 3 +b^ 3 =2 ．证…——2017 高考数学第 23 题答案解析

【考点】R6：不等式的证明．
【专题】14：证明题；35：转化思想；49：综合法；5T：不等式．
【分析】①由柯西不等式即可证明，
②由 $a^{3}+b^{3}=2$ 转化为 $\frac{(a+b)^{3}-2}{3(a+b)}=a b$ ，再由均值不等式可得：$\frac{(a+b)^{3}-2}{3(a+b)}=a b \leq \left(\frac{a+b}{2}\right)^{2}$ ，即可得到 $\frac{1}{4}(a+b)^{3} \leq 2$ ，问题得以证明．

【解答】证明：①由柯西不等式得：（ $a+b)\left(a^{5}+b^{5}\right) \geq\left(\sqrt{a^{\cdot} a^{5}}+\sqrt{b \cdot b^{5}}\right)$

$$ 2=\left(a^{3}+b^{3}\right)^{2} \geq 4, $$

当且仅当 $\sqrt{a b^{5}}=\sqrt{b a^{5}}$ ，即 $a=b=1$ 时取等号，
②$\because a^{3}+b^{3}=2$ ，
$\therefore(a+b)\left(a^{2}-a b+b^{2}\right)=2$ ，
$\therefore(a+b)\left[(a+b)^{2}-3 a b\right]=2$ ，
$\therefore(\mathrm{a}+\mathrm{b})^{3}-3 \mathrm{ab}(\mathrm{a}+\mathrm{b})=2$ ，
$\therefore \frac{(a+b)^{3}-2}{3(a+b)}=a b$ ，
由均值不等式可得：$\frac{(a+b)^{3}-2}{3(a+b)}=a b \leq\left(\frac{a+b}{2}\right)^{2}$ ，
$\therefore(a+b)^{3}-2 \leq \frac{3(a+b)^{3}}{4}$ ，
$\therefore \frac{1}{4}(\mathrm{a}+\mathrm{b})^{3} \leq 2$ ，
$\therefore a+b \leq 2$ ，当且仅当 $a=b=1$ 时等号成立．
【点评】本题考查了不等式的证明，掌握柯西不等式和均值不等式是关键，属于中档题