（5分）已知 e _ 1 , e _ 2 是互相垂直的单位…——2017 高考数学第 12 题答案解析

【解答】
（5分）（2017•山东）已知 $\overrightarrow{\mathrm{e}_{1}}, \overrightarrow{\mathrm{e}_{2}}$ 是互相垂直的单位向量，若 $\sqrt{3} \overrightarrow{\mathrm{e}_{1}}-\overrightarrow{\mathrm{e}_{2}}$与 $\overrightarrow{\mathrm{e}_{1}}+\lambda_{\mathrm{e}_{2}}$ 的夹角为 $60^{\circ}$ ，则实数 $\lambda$ 的值是 $-\frac{\sqrt{3}}{3}$
【解答】解： $\overrightarrow{\mathrm{e}_{1}}, \overrightarrow{\mathrm{e}_{2}}$ 是互相垂直的单位向量，
$\therefore\left|\overrightarrow{\mathrm{e}_{1}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{e}_{2}}\right|=1$ ，且 $\overrightarrow{\mathrm{e}_{1}} \bullet \overrightarrow{\mathrm{e}_{2}}=0$ ；
又 $\sqrt{3} \overrightarrow{\mathrm{e}_{1}}-\overrightarrow{\mathrm{e}_{2}}$ 与 $\overrightarrow{\mathrm{e}_{1}}+\lambda \overrightarrow{\mathrm{e}_{2}}$ 的夹角为 $60^{\circ}$ ，
$\therefore\left(\sqrt{3} \overrightarrow{e_{1}}-\overrightarrow{e_{2}}\right) \cdot\left(\overrightarrow{e_{1}}+\lambda \overrightarrow{e_{2}}\right)=\left|\sqrt{3} \overrightarrow{e_{1}}-\overrightarrow{e_{2}}\right| \times\left|\overrightarrow{e_{1}}+\lambda_{e_{2}}\right| \times \cos 60^{\circ}$,
即 $\sqrt{3}{\overrightarrow{\mathrm{e}_{1}}}^{2}+(\sqrt{3} \lambda-1) \overrightarrow{\mathrm{e}_{1}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{e}_{2}}-\lambda{\overrightarrow{\mathrm{e}_{2}}}^{2}=\sqrt{3{\overrightarrow{\mathrm{e}_{1}}}^{2}-2 \sqrt{3} \overrightarrow{\mathrm{e}_{1}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{e}_{2}}+{\overrightarrow{\mathrm{e}_{2}}}^{2}} \times$
$\sqrt{{\overrightarrow{e_{1}}}^{2}+2 \lambda \overrightarrow{e_{1}} \cdot \overrightarrow{e_{2}}+\lambda^{2}{\overrightarrow{e_{2}}}^{2}} \times \frac{1}{2}$,
化简得 $\sqrt{3}-\lambda=\sqrt{3+1} \times \sqrt{1+\lambda^{2}} \times \frac{1}{2}$ ，
即 $\sqrt{3}-\lambda=\sqrt{1+\lambda^{2}}$ ，
解得 $\lambda=\frac{\sqrt{3}}{3}$ ．

故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{3}$ ．