2014_退役省自主命题 (2014·理)
15．已知直线 $l$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=2+t \\ y=3+t\end{array}\right.$（ $t$ 为参数），以坐标原点为极点，$x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $\rho \sin ^{2} \theta-4 \cos \theta=0(\rho \geq 0,0 \leq \theta<2 \pi)$ ，则直线 $l$ 与曲线 $C$ 的公共点的极径 $\rho=$
【答案】 $\sqrt{5}$
## 【解析】
试题分析：由参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=2+t \\ y=3+t\end{array}\right.$ 消法参数 $t$ 得直线的一般式方程为：$x-y+1=0$
由曲线的极坐标方程 $\rho \sin ^{2} \theta-4 \cos \theta=0$ 两边同乘以 $\rho$ 得，$\rho^{2} \sin ^{2} \theta-4 \rho \cos \theta=0$ ，所以，曲线 C 在直角坐标系下的方程为 $y^{2}=4 x$
解由方程（1）（2）能成的方程级得 $\left\{\begin{array}{l}x=1 \\ y=2\end{array}\right.$
所以，直线 $x-y+1=0$ 与曲线 $C: y^{2}=4 x$ 的交点坐标为 $(1,2)$ ，极径 $\rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{1+2^{2}}=\sqrt{5}$
所以，答案应填：$\sqrt{5}$
考点：参数方程与极坐标。