2013_上海卷 (2013·文)
21．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分．已知函数 $\mathrm{f}(x)=2 \sin (\omega x)$ ，其中常数 $\omega>0$ ．
（1）令 $\omega=1$ ，判断函数 $F(x)=f(x)+f\left(x+\frac{\pi}{2}\right)$ 的奇偶性，并说明理由；
（2）令 $\omega=2$ ，将函数 $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的图像向左平移 $\frac{\pi}{6}$ 个单位，再向上平移 1 个单位，得到函数 $\mathrm{y}=\mathrm{g}( x)$ 的图像．对任意 $a \in R$ ，求 $y=g(x)$ 在区间 $[a, a+10 \pi]$ 上零点个数的所有可能值．
(1) 不是奇函数，也不是偶函数。 >; (2) 20,21
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【答案】（1）不是奇函数，也不是偶函数。
> （2） 20,21
【解析】①
$\omega=1$ 时，$f(x)=2 \sin x, F(x)=f(x)+f\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=2 \sin x+2 \sin \left(x+\frac{\pi}{2}\right)$
$=2 \sin x+2 \cos x=2 \sqrt{2} \sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right), \because$ 周期 $T=\frac{2 \pi}{\omega}=2 \pi, y=2 \sqrt{2} \sin x$ 是奇函数，
∴ 图像左移 $\frac{\pi}{4}$ 后得 $f(x)=2 \sqrt{2} \sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right)$ ，即不是奇函数，也不是偶函数。
> ②$\omega=2$ ，将函数 $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的图像向左平移 $\frac{\pi}{6}$ 个单位，再向上平移 1 个单位，得到函数 $\mathrm{y}=\mathrm{g}(\mathrm{x})$ ：
$f(x)=2 \sin 2 x, g(x)=f\left(x-\frac{\pi}{6}\right)+1=2 \sin 2\left(x-\frac{\pi}{6}\right)+1$ ，最小正周期 $T=\pi$ 。
令 $f(x)=0 \Rightarrow \sin 2\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=-\frac{1}{2}$ 在一个周期内最多有 3 个零点，最少 2 个零点。
所以 $y=g(x)$ 在区间 $[a, a+10 \pi]$ 、其长度为 10 个周期上，零点个数可以取 20,21 个