设椭圆 C: x^2 a^2 + y^2 b^2 = 1…——2024 高考数学第 20 题答案解析

【答案】① $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$

(2) 证明见解析

【解析】

【分析】①设 $F(c,0)$ ，根据M的坐标及 $MF \perp x$ 轴可求基本量，故可求椭圆方程.

> ②设 $AB:y = k(x - 4)$ ， $A(x_{1},y_{1})$ ， $B(x_{2},y_{2})$ ，联立直线方程和椭圆方程，用 $A,B$ 的坐标表示 $y_{1} - y_{Q}$ ，结合韦达定理化简前者可得 $y_{1} - y_{Q} = 0$ ，故可证 $AQ\perp y$ 轴.

【小问 1 详解】

设 $F(c,0)$ ，由题设有 $c = 1$ 且 $\frac{b^2}{a} = \frac{3}{2}$ ，故 $\frac{a^2 - 1}{a} = \frac{3}{2}$ ，故 $a = 2$ ，故 $b = \sqrt{3}$

故椭圆方程为 $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$ .

【小问 2 详解】

直线 $AB$ 的斜率必定存在，设 $AB:y = k(x - 4)$ ， $A(x_{1},y_{1})$ ， $B(x_{2},y_{2})$

由 $\left\{ \begin{array}{l} 3x^{2} + 4y^{2} = 12 \\ y = k(x - 4) \end{array} \right.$ 可得 $\left(3 + 4k^{2}\right)x^{2} - 32k^{2}x + 64k^{2} - 12 = 0$ ，

故 $\Delta = 1024k^4 - 4(3 + 4k^2)(64k^2 - 12) > 0$ ，故 $-\frac{1}{2} < k < \frac{1}{2}$ ，

又 $x_{1} + x_{2} = \frac{32k^{2}}{3 + 4k^{2}}, x_{1}x_{2} = \frac{64k^{2} - 12}{3 + 4k^{2}}$

而 $N\left(\frac{5}{2},0\right)$ ，故直线 $BN:y=\frac{y_{2}}{x_{2}-\frac{5}{2}}\left(x-\frac{5}{2}\right)$ ，故 $y_{Q}=\frac{-\frac{3}{2}y_{2}}{x_{2}-\frac{5}{2}}=\frac{-3y_{2}}{2x_{2}-5}$ ，

所以 $y_{1} - y_{Q} = y_{1} + \frac{3y_{2}}{2x_{2} - 5} = \frac{y_{1} \times (2x_{2} - 5) + 3y_{2}}{2x_{2} - 5}$

$$ = \frac {k \left(x _ {1} - 4\right) \times \left(2 x _ {2} - 5\right) + 3 k \left(x _ {2} - 4\right)}{2 x _ {2} - 5} $$

$$ = k \frac {2 x _ {1} x _ {2} - 5 \left(x _ {1} + x _ {2}\right) + 8}{2 x _ {2} - 5} = k \frac {2 \times \frac {6 4 k ^ {2} - 1 2}{3 + 4 k ^ {2}} - 5 \times \frac {3 2 k ^ {2}}{3 + 4 k ^ {2}} + 8}{2 x _ {2} - 5} $$

$$ = k \frac {\frac {1 2 8 k ^ {2} - 2 4 - 1 6 0 k ^ {2} + 2 4 + 3 2 k ^ {2}}{3 + 4 k ^ {2}}}{2 x _ {2} - 5} = 0, $$

故 $y_{1}=y_{Q}$ ，即 $AQ\perp y$ 轴.

【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：

> ①设直线方程，设交点坐标为 $\left(x_{1},y_{1}\right),\left(x_{2},y_{2}\right)$ ;

(2) 联立直线与圆锥曲线的方程, 得到关于 $x$ (或 $y$ ) 的一元二次方程, 注意 $\Delta$ 的判断;

（3）列出韦达定理；

(4) 将所求问题或题中的关系转化为 $x_{1} + x_{2}$ 、 $x_{1}x_{2}$ （或 $y_{1} + y_{2}$ 、 $y_{1}y_{2}$ ）的形式；

(5) 代入韦达定理求解.