（12分）如图，在 A B C 中， A B C=90^…——2013 高考数学第 17 题答案解析

【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．
【专题】58：解三角形．
【分析】（1）在Rt $\triangle P B C$ ，利用边角关系即可得到 $\angle P B C=60^{\circ}$ ，得到 $\angle P B A=30^{\circ}$ ．在 $\triangle \mathrm{PBA}$ 中，利用余弦定理即可求得 PA ．
（II）设 $\angle P B A=\alpha$ ，在Rt $\triangle P B C$ 中，可得 $P B=\sin \alpha$ ．在 $\triangle P B A$ 中，由正弦定理得 $\frac{\mathrm{AB}}{\sin \angle \mathrm{APB}}=\frac{\mathrm{PB}}{\sin \angle \mathrm{PAB}}$ ，即 $\frac{\sqrt{3}}{\sin 150^{\circ}}=\frac{\sin \alpha}{\sin \left(30^{\circ}-\alpha\right)}$ ，化简即可求出．

【解答】解：（1）在Rt $\triangle \mathrm{PBC}$ 中， $\cos \angle \mathrm{PBC}=\frac{\mathrm{PB}}{\mathrm{BC}}=\frac{1}{2}, \therefore \angle \mathrm{PBC}=60^{\circ}, \therefore \angle \mathrm{PBA}=30^{\circ}$ ．在 $\triangle P B A$ 中，由余弦定理得 $P A^{2}=P B^{2}+A B^{2}-2 P B \bullet A B \cos 30^{\circ}=$

$$ \begin{aligned} & \left(\frac{1}{2}\right)^{2}+(\sqrt{3})^{2}-2 \times \frac{1}{2} \times \sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{7}{4} . \\ \therefore \mathrm{PA}= & \frac{\sqrt{7}}{2} . \end{aligned} $$

（II）设 $\angle P B A=\alpha$ ，在Rt $\triangle P B C$ 中，$P B=B C \cos \left(90^{\circ}-\alpha\right)=\sin \alpha$ ．
在 $\triangle \mathrm{PBA}$ 中，由正弦定理得 $\frac{\mathrm{AB}}{\sin \angle \mathrm{APB}}=\frac{\mathrm{PB}}{\sin \angle \mathrm{PAB}}$ ，即 $\frac{\sqrt{3}}{\sin 150^{\circ}}=\frac{\sin \alpha}{\sin \left(30^{\circ}-\alpha\right)}$

化为 $\sqrt{3} \cos \alpha=4 \sin \alpha$ 。 $\therefore \tan \alpha=\frac{\sqrt{3}}{4}$ 。
【点评】熟练掌握直角三角形的边角关系、正弦定理和余弦定理是解题的关键