（12分）如图，四棱锥 P-A B C D 中，侧面 P…——2017 高考数学第 18 题答案解析

【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行．
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离

【分析】（1）利用直线与平面平行的判定定理证明即可．
（2）利用已知条件转化求解几何体的线段长，然后求解几何体的体积即可．
【解答】（1）证明：四棱锥 $P-A B C D$ 中，$\because \angle B A D=\angle A B C=90^{\circ} . \therefore B C \| A D, \because A D \subset$平面 $\mathrm{PAD}, \mathrm{BC} \not \subset$ 平面 PAD ，
∴ 直线 $\mathrm{BC} \|$ 平面 PAD ；
（2）解：四棱锥 $P-A B C D$ 中，侧面 $P A D$ 为等边三角形且垂直于底面 $A B C D, A B=B C=\frac{1}{2} A D, \angle B A D=\angle A B C=90^{\circ}$ ．设 $A D=2 x$ ，

则 $A B=B C=x, C D=\sqrt{2} x, O$ 是 $A D$ 的中点，
连接 $\mathrm{PO}, \mathrm{OC}, \mathrm{CD}$ 的中点为： E ，连接 OE ，
则 $O E=\frac{\sqrt{2}}{2} x, P O=\sqrt{3} x, P E=\sqrt{P O^{2}+O E}=\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}} x$ ，
$\triangle P C D$ 面积为 $2 \sqrt{7}$ ，可得：$\frac{1}{2} P E \cdot C D=2 \sqrt{7}$ ，
即：$\frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}} \mathrm{x} \cdot \sqrt{2} \mathrm{x}=2 \sqrt{7}$ ，解得 $\mathrm{x}=2, \mathrm{PO}=2 \sqrt{3}$ ．
则 $V_{P-A B C D}=\frac{1}{3} \times \frac{1}{2}(B C+A D) \times A B \times P O=\frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times(2+4) \times 2 \times 2 \sqrt{3}=4 \sqrt{3}$ ．

【点评】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，几何体的体积的求法，

考查空间想象能力以及计算能力。