（12分）如图，四棱锥 P-A B C D 中，侧面 P…——2017 高考数学第 18 题答案解析

（1）证明：
在四棱锥 $P-ABCD$ 中，因为 $\angle BAD = \angle ABC = 90^{\circ}$，
所以 $BC \parallel AD$．
又因为 $AD \subset$ 平面 $PAD$，$BC \not\subset$ 平面 $PAD$，
所以直线 $BC \parallel$ 平面 $PAD$．

（2）解：
设 $AB = BC = x$，由已知 $AB = BC = \frac{1}{2}AD$，可得 $AD = 2x$．
取 $AD$ 的中点 $O$，连接 $PO, OC$．
因为 $\triangle PAD$ 为等边三角形，所以 $PO \perp AD$，且 $PO = \frac{\sqrt{3}}{2} AD = \sqrt{3}x$．
因为平面 $PAD \perp$ 平面 $ABCD$，平面 $PAD \cap$ 平面 $ABCD = AD$，$PO \subset$ 平面 $PAD$，
所以 $PO \perp$ 平面 $ABCD$．

在底面 $ABCD$ 中，因为 $BC \parallel AD, BC = x, AO = \frac{1}{2}AD = x$，且 $\angle ABC = 90^{\circ}$，
所以四边形 $ABCO$ 为正方形，故 $OC \perp AD$ 且 $OC = x$．
在 $\triangle OCD$ 中，$OC = x, OD = x, \angle COD = 90^{\circ}$，
所以 $\triangle OCD$ 为等腰直角三角形，$CD = \sqrt{OC^2 + OD^2} = \sqrt{2}x$．
取 $CD$ 的中点 $E$，连接 $OE, PE$．
因为 $\triangle OCD$ 为等腰三角形，$E$ 为底边 $CD$ 中点，所以 $OE \perp CD$，且 $OE = \frac{1}{2}CD = \frac{\sqrt{2}}{2}x$．
因为 $PO \perp$ 平面 $ABCD$，$CD \subset$ 平面 $ABCD$，所以 $PO \perp CD$．
又 $PO \cap OE = O$，所以 $CD \perp$ 平面 $POE$．
因为 $PE \subset$ 平面 $POE$，所以 $CD \perp PE$．
在 Rt$\triangle POE$ 中，$PE = \sqrt{PO^2 + OE^2} = \sqrt{(\sqrt{3}x)^2 + (\frac{\sqrt{2}}{2}x)^2} = \sqrt{3x^2 + \frac{1}{2}x^2} = \frac{\sqrt{14}}{2}x$．

由 $\triangle PCD$ 的面积为 $2\sqrt{7}$，得：
$\frac{1}{2} CD \cdot PE = 2\sqrt{7}$，
即 $\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2}x \cdot \frac{\sqrt{14}}{2}x = 2\sqrt{7}$，
化简得 $\frac{\sqrt{7}}{2}x^2 = 2\sqrt{7}$，解得 $x = 2$．

所以 $PO = 2\sqrt{3}$，底面梯形 $ABCD$ 的面积 $S = \frac{1}{2}(BC + AD) \cdot AB = \frac{1}{2}(2 + 4) \times 2 = 6$．
四棱锥 $P-ABCD$ 的体积 $V = \frac{1}{3} S \cdot PO = \frac{1}{3} \times 6 \times 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$．