（15分）（2016•浙江）如图，在三棱台 ABC - D…——2017 高考数学第 17 题答案解析

【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．
【分析】（I）先证明 $\mathrm{BF} \perp \mathrm{AC}$ ，再证明 $\mathrm{BF} \perp \mathrm{CK}$ ，进而得到 $\mathrm{BF} \perp$ 平面 ACFD ．
（II）方法一：先找二面角 $\mathrm{B}-\mathrm{AD}-\mathrm{F}$ 的平面角，再在 Rt $\triangle \mathrm{BQF}$ 中计算，即可得出；方法二：通过建立空间直角坐标系，分别计算平面 ACK 与平面 ABK 的法向量，进而可得二面角 $\mathrm{B}-\mathrm{AD}-\mathrm{F}$ 的平面角的余弦值。
【解答】（I）证明：延长 $\mathrm{AD}, \mathrm{BE}, \mathrm{CF}$ 相交于点 K ，如图所示，$\because$ 平面 $\mathrm{BCFE} \perp$ 平面 ABC ， $\angle \mathrm{ACB}=90^{\circ}$ ，
$\therefore \mathrm{AC} \perp$ 平面 $\mathrm{BCK}, \quad \therefore \mathrm{BF} \perp \mathrm{AC}$ ．
又 $\mathrm{EF} \| \mathrm{BC}, \mathrm{BE}=\mathrm{EF}=\mathrm{FC}=1, \mathrm{BC}=2, \therefore \triangle \mathrm{BCK}$ 为等边三角形，且 F 为 CK 的中点，则 $\mathrm{BF} \perp \mathrm{CK}$ ，
$\therefore \mathrm{BF} \perp$ 平面 ACFD ．
（II）方法一：过点 F 作 $\mathrm{FQ} \perp \mathrm{AK}$ ，连接 $\mathrm{BQ}, ~ \because \mathrm{BF} \perp$ 平面 $\mathrm{ACFD} . \therefore \mathrm{BF} \perp \mathrm{AK}$ ，则 $\mathrm{AK} \perp$ 平面 BQF，
$\therefore \mathrm{BQ} \perp \mathrm{AK} . \therefore \angle \mathrm{BQF}$ 是二面角 $\mathrm{B}-\mathrm{AD}-\mathrm{F}$ 的平面角．
在 Rt $\triangle \mathrm{ACK}$ 中， $\mathrm{AC}=3, \mathrm{CK}=2$ ，可得 $\mathrm{FQ}=\frac{3 \sqrt{13}}{13}$ ．
在 Rt $\triangle B Q F$ 中， $\mathrm{BF}=\sqrt{3}, \mathrm{FQ}=\frac{3 \sqrt{13}}{13}$ ．可得： $\cos \angle \mathrm{BQF}=\frac{\sqrt{3}}{4}$ ．
∴ 二面角 $\mathrm{B}-\mathrm{AD}-\mathrm{F}$ 的平面角的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ ．
**方法二**：如图，延长 $\mathrm{AD}, \mathrm{BE}, \mathrm{CF}$ 相交于点 K ，则 $\triangle \mathrm{BCK}$ 为等边三角形，
取 BC 的中点，则 $\mathrm{KO} \perp \mathrm{BC}$ ，又平面 $\mathrm{BCFE} \perp$ 平面 $\mathrm{ABC}, \therefore \mathrm{KO} \perp$ 平面 BAC ，
以点 O 为原点，分别以 OB ， OK 的方向为 $\mathrm{x}, \mathrm{z}$ 的正方向，建立空间直角坐标系 $\mathrm{O}-\mathrm{xyz}$ ．
可得：$B(1,0,0), C(-1,0,0), K(0,0, \sqrt{3}), A(-1,-3,0)$ ，
$\mathrm{E}\left(\frac{1}{2}, 0, \frac{\sqrt{3}}{2}\right), \mathrm{F}\left(-\frac{1}{2}, 0, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ ．
$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=(0,3,0), \overrightarrow{\mathrm{AK}}=(1,3, \sqrt{3}), \overrightarrow{\mathrm{AB}}(2,3,0)$ ．
设平面 ACK 的法向量为 $\overrightarrow{\mathrm{r}}=\left(\mathrm{x}_{1}, \mathrm{y}_{1}, \mathrm{z}_{1}\right)$ ，平面 ABK 的法向量为 $\overrightarrow{\mathrm{n}}=\left(\mathrm{x}_{2}, \mathrm{y}_{2}, \mathrm{z}_{2}\right)$ ，由
$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{\mathrm{AC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{m}}=0 \\ \overrightarrow{\mathrm{AK}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{m}}=0\end{array}\right.$ ，可得 $\left\{\begin{array}{l}3 \mathrm{y}_{1}=0 \\ \mathrm{x}_{1}+3 \mathrm{y}_{1}+\sqrt{3} \mathrm{z}_{1}=0\end{array}\right.$ ，
取 $\vec{\pi}=(\sqrt{3}, 0,-1)$ ．
由 $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{n}}=0 \\ \overrightarrow{\mathrm{AK}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{n}}=0\end{array}\right.$ ，可得 $\left\{\begin{array}{l}2 \mathrm{x}_{2}+3 \mathrm{y}_{2}=0 \\ \mathrm{x}_{2}+3 \mathrm{y}_{2}+\sqrt{3} \mathrm{z}_{2}=0\end{array}\right.$ ，取 $\overrightarrow{\mathrm{n}}=(3,-2, \sqrt{3})$ ．

$\therefore \cos <\vec{m}, \vec{n}>=\frac{\vec{m} \cdot \vec{n}}{|\vec{m}||\vec{n}|}=\frac{\sqrt{3}}{4}$.
∴ 二面角 B－AD－F 的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ ．

【点评】本题考查了空间位置关系、法向量的应用、空间角，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题。