某工厂进行生产线智能化升级改造,升级改造后,从该工厂甲、乙…——2024 高考数学第 17 题答案解析

2024_全国甲卷

2024 全国 第 17 题 解答题 区分题
2024_全国甲卷

17. 某工厂进行生产线智能化升级改造,升级改造后,从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取 150 件进行检验,数据如下:

<table><tr><td></td><td>优级品</td><td>合格品</td><td>不合格品</td><td>总计</td></tr><tr><td>甲车间</td><td>26</td><td>24</td><td>0</td><td>50</td></tr><tr><td>乙车间</td><td>70</td><td>28</td><td>2</td><td>100</td></tr><tr><td>总计</td><td>96</td><td>52</td><td>2</td><td>150</td></tr></table>

(1) 填写如下列联表:

<table><tr><td></td><td>优级品</td><td>非优级品</td></tr><tr><td>甲车间</td><td></td><td></td></tr><tr><td>乙车间</td><td></td><td></td></tr></table>

能否有 $95\%$ 的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异?能否有 $99\%$ 的把握认为甲,乙两车间产品的优级品率存在差异?

(2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率 $p = 0.5$ ,设 $\overline{p}$ 为升级改造后抽取的 $n$ 件产品的优级品率。如果 $\overline{p} > p + 1.65\sqrt{\frac{p(1 - p)}{n}}$ ,则认为该工厂产品的优级品率提高了,根据抽取的150件产品的数据,能否认为生产线智能化升级改造后,该工厂产品的优级品率提高了?( $\sqrt{150} \approx 12.247$ )

附: $K^{2}=\frac{n(ad-bc)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$

<table><tr><td> $P(K^{2} \geq k)$ </td><td>0.050</td><td>0.010</td><td>0.001</td></tr><tr><td>k</td><td>3.841</td><td>6.635</td><td>10.828</td></tr></table>

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【解析】

【分析】(1)根据题中数据完善列联表,计算 $K^{2}$ ,并与临界值对比分析;

(2) 用频率估计概率可得 $\overline{p} = 0.64$ , 根据题意计算 $p + 1.65 \sqrt{\frac{p(1 - p)}{n}}$ , 结合题意分析判断.

【小问 1 详解】

根据题意可得列联表:

<table><tr><td></td><td>优级品</td><td>非优级品</td></tr><tr><td>甲车间</td><td>26</td><td>24</td></tr><tr><td>乙车间</td><td>70</td><td>30</td></tr></table>

可得 $K^{2}=\frac{150(26\times30-24\times70)^{2}}{50\times100\times96\times54}=\frac{75}{16}=4.6875$ ,

因为3.841<4.6875<6.635,

所以有 $95\%$ 的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异,没有 $99\%$ 的把握认为甲,乙两车间产品的优级品率存在差异.

【小问 2 详解】

由题意可知:生产线智能化升级改造后,该工厂产品的优级品的频率为 $\frac{96}{150}=0.64$ ,

用频率估计概率可得 $\overline{p}=0.64$ ,

又因为升级改造前该工厂产品的优级品率 p = 0.5,

则 $p + 1.65\sqrt{\frac{p(1 - p)}{n}} = 0.5 + 1.65\sqrt{\frac{0.5(1 - 0.5)}{150}} \approx 0.5 + 1.65 \times \frac{0.5}{12.247} \approx 0.568$

可知 $\overline{p} > p + 1.65\sqrt{\frac{p(1 - p)}{n}}$ ,

所以可以认为生产线智能化升级改造后,该工厂产品的优级品率提高了.

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