2014_江苏卷 (2014)
18．（本小题满分 16 分）
如图，为了保护河上古桥 $O A$，规划建一座新桥 $B C$，同时设立一个圆形保护区。规划要求：新桥 $B C$ 与河岸 $A B$ 垂直；保护区的边界为圆心 $M$ 在线段 $O A$ 上并与 $B C$ 相切的圆。且古桥两端 $O$ 和 $A$ 到该圆上任意一点的距离均不少于 80 m．
经测量，点 $A$ 位于点 $O$ 正北方向 60 m 处，点 $C$ 位于点 $O$ 正东方向 170 m 处（ $O C$ 为河岸）， $\tan \angle B C O=\frac{4}{3}$．
（1）求新桥 $B C$ 的长；
（2）当 $O M$ 多长时，圆形保护区的面积最大？
（第18题）
【解答】
（16分）（2014•江苏）如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区，规划要求：新桥 BC 与河岸 AB 垂直；保护区的边界为圆心 M 在线段 OA 上并与 BC 相切的圆，且古桥两端 O 和 A 到该圆上任意一点的距离均不少于 80 m，经测量，点 A 位于点 O 正北方向 60 m 处，点 C 位于点 O 正东方向 170 m 处（ OC 为河岸）， $\tan \angle \mathrm{BCO}=\frac{4}{3}$．
（1）求新桥 BC 的长；
（2）当 OM 多长时，圆形保护区的面积最大？
考点 圆的切线方程；直线与圆的位置关系．
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专题 直线与圆．
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分析（1）在四边形 AOCB 中，过 B 作 $\mathrm{BE} \perp \mathrm{OC}$ 于 E，过 A 作 $\mathrm{AF} \perp \mathrm{BE}$ 于 F，设出 AF，然后通过：解直角三角形列式求解 BE，进一步得到 CE，然后由勾股定理得答案；
②设 BC 与 $\odot \mathrm{M}$ 切于 Q，延长 $\mathrm{QM}, \mathrm{CO}$ 交于 P，设 $\mathrm{OM}=\mathrm{xm}$，把 $\mathrm{PC}, \mathrm{PQ}$ 用含有 x 的代数式表示，再结合古桥两端 O 和 A 到该圆上任意一点的距离均不少于 80 m 列式求得 x 的范围，得到 $x$ 取最小值时圆的半径最大，即圆形保护区的面积最大．
解答 解：（1）如图，
：
过 B 作 $\mathrm{BE} \perp \mathrm{OC}$ 于 E，过 A 作 $\mathrm{AF} \perp \mathrm{BE}$ 于 F，
$\because \angle \mathrm{ABC}=90^{\circ}, \quad \angle \mathrm{BEC}=90^{\circ}$，
$\therefore \angle \mathrm{ABF}=\angle \mathrm{BCE}$，
$\therefore \tan \angle \mathrm{ABF}=\tan \angle \mathrm{BCO}=\frac{4}{3}$．
设 $A F=4 x(m)$，则 $B F=3 x(m)$．
$\because \angle \mathrm{AOE}=\angle \mathrm{AFE}=\angle \mathrm{OEF}=90^{\circ}$，
$\therefore \mathrm{OE}=\mathrm{AF}=4 \mathrm{x}(\mathrm{m}), ~ \mathrm{EF}=\mathrm{AO}=60(\mathrm{~m})$,
$\therefore \mathrm{BE}=(3 \mathrm{x}+60) \mathrm{m}$．
$\because \tan \angle \mathrm{BCO}=\frac{4}{3}$,
$\therefore \mathrm{CE}=\frac{3}{4} \mathrm{BE}=\left(\frac{9}{4} \mathrm{x}+45\right) \quad(\mathrm{m})$．
$\therefore \mathrm{OC}=\left(4 \mathrm{x}+\frac{9}{4} \mathrm{x}+45\right) \quad(\mathrm{m})$．
$\therefore 4 x+\frac{9}{4} x+45=170$，
解得：$x=20$．
$\therefore \mathrm{BE}=120 \mathrm{~m}, ~ \mathrm{CE}=90 \mathrm{~m}$，
则 $\mathrm{BC}=150 \mathrm{~m}$；
（2）如图，
设 BC 与 $\odot \mathrm{M}$ 切于 Q，延长 $\mathrm{QM}, \mathrm{CO}$ 交于 P，
$\because \angle \mathrm{POM}=\angle \mathrm{PQC}=90^{\circ}$，
$\therefore \angle \mathrm{PMO}=\angle \mathrm{BCO}$．
设 $O M=x m$，则 $O P=\frac{4}{3} x^{m}, P M=\frac{5}{3} x^{m}$．
$\therefore \mathrm{PC}=\left(\frac{4}{3} \mathrm{x}+170\right) \mathrm{m}, P Q=\left(\frac{16}{15} \mathrm{x}+136\right) \mathrm{m}$．
设 $\odot \mathrm{M}$ 半径为 R，
$\therefore \mathrm{R}=\mathrm{MQ}=\left(\frac{16}{15} \mathrm{x}+136-\frac{5}{3} \mathrm{x}\right) \mathrm{m}=\left(136-\frac{3}{5} \mathrm{x}\right) \mathrm{m}$．
$\because \mathrm{A}, \mathrm{O}$ 到 $\odot \mathrm{M}$ 上任一点距离不少于 80 m，
则 $\mathrm{R}-\mathrm{AM} \geq 80, \mathrm{R}-\mathrm{OM} \geq 80$，
$\therefore 136-\frac{3}{5} x-(60-x) \geq 80,136-\frac{3}{5} x-x \geq 80$．
解得： $10 \leq x \leq 35$．
∴ 当且仅当 $\mathrm{x}=10$ 时 R 取到最大值．
$\therefore \mathrm{OM}=10 \mathrm{~m}$ 时，保护区面积最大。
点评 本题考查圆的切线，考查了直线与圆的位置关系，解答的关键在于对题意的理解，：是中档题．