2013_退役省自主命题 (2013·理)
16．（本小题满分 12 分）
在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中，角 A，B，C 所对的边分别为 $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$，已知
$\cos C+(\cos A-\sqrt{3} \sin A) \cos B=0$.
（1）求角 B 的大小；
（2）若 $a+c=1$，求 $b$ 的取值范围．
(1) $\frac{\pi}{3}$; (2) $1>b \geq \frac{1}{2}$
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【答案】①$\frac{\pi}{3}$② $1>b \geq \frac{1}{2}$
【解析】①
$$ \because-\cos (A+B)+(\cos A-\sqrt{3} \sin A) \cos B=0, \therefore \sin A \sin B-\sqrt{3} \sin A \cos B=0 $$
$$ \therefore \sin A(\sin B-\sqrt{3} \cos B)=0, \therefore \sin B-\sqrt{3} \cos B=0 \text { 即 } 2 \sin \left(B-\frac{\pi}{3}\right)=0, \therefore B=\frac{\pi}{3} \text {。 } $$
此类求三角形的内角的问题在解法上既可以直接化简求值，也可以运用正余弦定理化边为角，或化角为边，注意角的取值范围。
> （2）在三角形 ABC 中有余弦定理得
$b^{2}=a^{2}+c^{2}-2 a c \cos \frac{\pi}{3}=(a+c)^{2}-3 a c \geq(a+c)^{2}-3\left(\frac{a+c}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4} . \therefore b \geq \frac{1}{2}$．
$\because b<a+c=1, \therefore \frac{1}{2} \leq b<1$.
用余弦定理和均值不等式是解决该类问题常用的解法，但是不能忽略题设条件下边长 b固有的范围．
【考点定位】本题主要考查解三角形、正余弦定理、基本不等式等基础知识，考查分析问题解决问题的能力。