设A，B 为双曲线 x ^ 2 - y ^ 2 9 = 1…——2023 高考数学第 12 题答案解析

【答案】D

【解析】

【分析】根据点差法分析可得 $k _ { A B } \cdot k = 9$ ，对于 A、B、D：通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断；对于C：结合双曲线的渐近线分析判断.

【详解】设 $A \big ( x _ { 1 } , y _ { 1 } \big ) , B \big ( x _ { 2 } , y _ { 2 } \big )$ ，则AB 的中点 $M \left( { \frac { x _ { 1 } + x _ { 2 } } { 2 } } , { \frac { y _ { 1 } + y _ { 2 } } { 2 } } \right)$

可得 $k _ { _ { A B } } = \frac { y _ { 1 } - y _ { 2 } } { x _ { 1 } - x _ { 2 } } , k = \frac { \displaystyle \frac { y _ { 1 } + y _ { 2 } } { 2 } } { \displaystyle \frac { x _ { 1 } + x _ { 2 } } { 2 } } = \frac { y _ { 1 } + y _ { 2 } } { x _ { 1 } + x _ { 2 } }$ 因 A B, 在双曲线上，则为 $\left\{ x _ { 1 } ^ { 2 } - \frac { y _ { 1 } ^ { 2 } } { 9 } = 1 \right.$ ，两式相减得 $\left( x _ { 1 } ^ { 2 } - x _ { 2 } ^ { 2 } \right) - { \frac { y _ { 1 } ^ { 2 } - y _ { 2 } ^ { 2 } } { 9 } } = 0$ 所以 $k _ { _ { A B } } \cdot k = \frac { y _ { 1 } ^ { 2 } - y _ { 2 } ^ { 2 } } { x _ { 1 } ^ { 2 } - x _ { 2 } ^ { 2 } } = 9$ 对于选项A： 可得 $k = 1 , k _ { \scriptscriptstyle A B } = 9$ ，则 $A B : y = 9 x - 8$ 联立方程 $\scriptstyle \left\{ { \begin{array} { l } { y = 9 x - 8 } \\ { x ^ { 2 } - { \frac { y ^ { 2 } } { 9 } } = 1 } \end{array} } \right.$ ，消去y得 $7 2 x ^ { 2 } - 2 \times 7 2 x + 7 3 = 0$ 此时 $\Delta = \left( - 2 \times 7 2 \right) ^ { 2 } - 4 \times 7 2 \times 7 3 = - 2 8 8 < 0$ 所以直线AB与双曲线没有交点，故A 错误；对于选项B：可得 $k = - 2 , k _ { _ { A B } } = - \frac { 9 } { 2 }$ ，则 $A B : y = - { \frac { 9 } { 2 } } x - { \frac { 5 } { 2 } }$ 联立方程 $\left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle y = - \frac { 9 } { 2 } x - \frac { 5 } { 2 } } \\ { \displaystyle x ^ { 2 } - \frac { y ^ { 2 } } { 9 } = 1 } \end{array} \right.$ ，消去y得 $4 5 x ^ { 2 } + 2 \times 4 5 x + 6 1 = 0$ 此时 $\Delta = \left( 2 \times 4 5 \right) ^ { 2 } - 4 \times 4 5 \times 6 1 = - 4 \times 4 5 \times 1 6 < 0$ 所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误；对于选项C：可得 $k = 3 , k _ { A B } = 3$ ，则 $A B : y = 3 x$ 由双曲线方程可得 $a = 1 , b = 3$ ，则 $A B : y = 3 x$ 为双曲线的渐近线，所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误；对于选项D： $k = 4 , k _ { _ { A B } } = \frac { 9 } { 4 }$ ，则 $A B : y = { \frac { 9 } { 4 } } x - { \frac { 7 } { 4 } }$ 联立方程 $\left\{ y = { \frac { 9 } { 4 } } x - { \frac { 7 } { 4 } } \right.$ ，消去y得 $6 3 x ^ { 2 } + 1 2 6 x - 1 9 3 = 0$ 此时 $\Delta = 1 2 6 ^ { 2 } + 4 \times 6 3 \times 1 9 3 > 0$ ，故直线AB与双曲线有交两个交点，故D 正确故选：D.