2024_全国甲卷
19. 在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 $\rho = \rho { \cos \theta + 1 }$
（1）写出C的直角坐标方程；
②设直线 $\ l { \mathrm { : } } \quad \left\{ { x = t \atop y = t + a } \right.$ （t为参数），若C与l相交于A B<sub>、</sub> 两点，若 $\left| A B \right| = 2$ ，求a的值.【答案】① $y ^ { 2 } = 2 x + 1$ ② $a = \frac { 3 } { 4 }$
见解析
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【解析】
【分析】（1）根据 $\scriptstyle { \left\{ \rho = { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } \right. }$ 可得C的直角方程.
（2）将直线的新的参数方程代入C的直角方程，
法1：结合参数s 的几何意义可得关于a的方程，从而可求参数a的值；
法2：将直线的直角方程与曲线的直角方程联立，结合弦长公式可求a的值.
【小问1详解】
由 $\rho = \rho \cos \theta + 1$ ，将 $\scriptstyle { \left\{ \rho = { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } \right. }$ 代入 $\rho = \rho \cos \theta + 1$
故可得 ${ \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } = x + 1$ ，两边平方后可得曲线 直角坐标方程为的 $y ^ { 2 } = 2 x + 1$
【小问2详解】
对于直线l的参数方程消去参数t，得直线的普通方程为 $y = x + a$
法1：直线l的斜率为1，故倾斜角为 $\frac { \pi } { 4 }$ ，
故直线的参数方程可设为 $\left\{ \begin{array} { l } { { \displaystyle x = \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } s } } \\ { { \displaystyle y = a + \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } s } } \end{array} \right. , ~ s \in \mathbb { R }$
将其代入 $y ^ { 2 } = 2 x + 1$ 中得 $s ^ { 2 } + 2 \sqrt { 2 } ( a - 1 ) s + 2 \left( a ^ { 2 } - 1 \right) = 0$
设A B, 两点对应的参数分别为 $s _ { 1 } , s _ { 2 }$ ，则 $s _ { 1 } + s _ { 2 } = - 2 \sqrt { 2 } \left( a - 1 \right) , s _ { 1 } s _ { 2 } = 2 \left( a ^ { 2 } - 1 \right)$
且 $\Delta = 8 { \left( a - 1 \right) } ^ { 2 } - 8 { \left( a ^ { 2 } - 1 \right) } = 1 6 - 1 6 a > 0$ ，故 $a < 1$
$\therefore \left| A B \right| = \left| s _ { 1 } - s _ { 2 } \right| = { \sqrt { \left( s _ { 1 } + s _ { 2 } \right) ^ { 2 } - 4 s _ { 1 } s _ { 2 } } } \ = { \sqrt { 8 \left( a - 1 \right) ^ { 2 } - 8 ( a ^ { 2 } - 1 ) } } = 2$ ，解得 $a = \frac { 3 } { 4 }$
法2：联立 $\left\{ \begin{array} { l l } { y = x + a } \\ { y ^ { 2 } = 2 x + 1 } \end{array} \right.$ ，得 $x ^ { 2 } + ( 2 a - 2 ) x + a ^ { 2 } - 1 = 0$
$\Delta = ( 2 a - 2 ) ^ { 2 } - 4 \left( a ^ { 2 } - 1 \right) = - 8 a + 8 > 0$ ，解得 $a < 1$
设 $A { \big ( } x _ { 1 } , y _ { 1 } { \big ) } , B { \big ( } x _ { 2 } , y _ { 2 } { \big ) } , \therefore x _ { 1 } + x _ { 2 } = 2 - 2 a , x _ { 1 } x _ { 2 } = a ^ { 2 } - 1$
则 $\left| A B \right| = { \sqrt { 1 + 1 ^ { 2 } } } \cdot { \sqrt { \left( x _ { 1 } + x _ { 2 } \right) ^ { 2 } - 4 x _ { 1 } x _ { 2 } } } = { \sqrt { 2 } } \cdot { \sqrt { ( 2 - 2 a ) ^ { 2 } - 4 { \left( a ^ { 2 } - 1 \right) } } } = 2$
解得 $a = \frac { 3 } { 4 }$