在 Rt A B C 中， C=90^ , A C=4，则…——2010 高考数学第 4 题答案解析

【解答】
（5分）（2010•湖南）在Rt $\triangle \mathrm{ABC}$ 中，$\angle \mathrm{C}=90^{\circ}, \mathrm{AC}=4$ ，则 $\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$ 等于
A．
－ 16 B
B．-8
C． 8
D． 16

【考点】平面向量数量积的运算；向量的加法及其几何意义．
【专题】计算题．
【分析】本题是一个求向量的数量积的问题，解题的主要依据是直角三角形中的垂直关系和一条边的长度，解题过程中有一个技巧性很强的地方，就是把 $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ 变化为两个向量的和，再进行数量积的运算．
【解答】解：$\because \angle \mathrm{C}=90^{\circ}$ ，
$\therefore \overrightarrow{\mathrm{AC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CB}}=0$ ，
$\therefore \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=(\overrightarrow{\mathrm{AC}}+\overrightarrow{\mathrm{CB}}) \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$
$=\overrightarrow{\mathrm{AC}}^{2}+\overrightarrow{\mathrm{AC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CB}}=4^{2}=16$
故选D．
【点评】启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质。 $\square$