（17）（本小题共 13 分） 已知函数 f(x)=x^…——2008 高考数学第 17 题答案解析

【解答】
（共13分）
解：（I ）因为函数 $g(x)=f(x)-2$ 为奇函数，
所以，对任意的 $x \in \mathbf{R}, g(-x)=-g(x)$ ，即 $f(-x)-2=-f(x)+2$ ．
又 $f(x)=x^{3}+a x^{2}+3 b x+c$ ，
所以 $-x^{3}+a x^{2}-3 b x+c-2=-x^{3}-a x^{2}-3 b x-c+2$ ．
所以 $\left\{\begin{array}{l}a=-a, \\ c-2=-c+2 .\end{array}\right.$
解得 $a=0, c=2$ ．
（ II）由（I）得 $f(x)=\mathrm{x}^{3}+3 b x+2$ ．
所以 $f^{\prime}(x)=3 x^{2}+3 b(b \neq 0)$ ．
当 $b<0$ 时，由 $f^{\prime}(x)=0$ 得 $x= \pm \sqrt{-b}$ ．
$x$ 变化时，$f^{\prime}(x)$ 的变化情况如下表：

所以，当 $b<0$ 时，函数 $f$
（ $x$ ）在（ $-\infty,-\sqrt{-b}$ ）上单调递增，在（ -
$\sqrt{-b}, \sqrt{-b}$ ）上单调递减，在 $(\sqrt{-b},+\infty)$ 上单调递增．
当 $b>0$ 时，$f^{\prime}(x)>0$ ．所以函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上单调递增．