（16分）在科学研究中，可以通过施加适当的电场和磁场来实现…——2013 高考物理第 17 题答案解析

【考点】CM：带电粒子在混合场中的运动

【专题】16：压轴题；537：带电粒子在复合场中的运动专题

【分析】（1）在 $\mathrm { t } { = } \frac { 1 } { 2 }$ τ时刻释放带电粒子P，在 $\vdots ^ { \frac { 1 } { 2 } } \tau \sim \tau$ 时间内做匀加速直线运动， $\tau \sim$

2τ时间内做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律和运动学公式结合求出 $\mathbf { v } _ { 0 } { \ ; }$

> ②由题，粒子恰能沿一定轨道做往复运动，分析可知，当 $\mathfrak { t } = 2 \mathrm { ~ } \tau$ 时刻，P在磁场中作圆周运动结束后并开始沿 x 轴负方向运动，才能沿一定的轨道作往复运动，画出轨迹，确定出粒子在磁场中圆周运动的周期，粒子在磁场中由洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律和圆周运动的运动学公式求解 $\mathrm { B } _ { 0 }$ 应满足的关系；

（3）在 $\mathrm { t } _ { 0 } \ ( 0 { < } \mathrm { t } _ { 0 } { < } \mathrm { ~ \tau ~ } / 2 )$ 时刻释放P，P在电场中加速时间为 $\mathrm { ~ \tt ~ { ~ r ~ } ~ } - \mathrm { \Delta t _ { 0 } ~ }$ ，由上题结果得到粒子在磁场中圆周运动的速度和半径，粒子又经过（ $\mathrm { ~ ~ \Omega ~ } , \tau \mathrm { ~ ~ - ~ } 1 _ { 0 } )$ 时间速度减至零后向右加速时间为 $\mathbf { t } _ { 0 }$ ，根据几何知识求解P速度为零时的坐标。

【解答】解：（1）由图2分析可知，在 $\displaystyle { \mathfrak { t } } = { \frac { 1 } { 2 } } { \mathfrak { \tau } }$ 时刻释放带电粒子P， $\mathrm { \ddag { \frac { 1 } { 2 } } \tau } \sim \tau$ 时间内做匀加速直线运动， $\tau \sim 2 \tau$ 时间内做匀速圆周运动，

在电场中：粒子所受的电场力 $\mathrm { F } { = } \mathsf { q E } _ { 0 }$

根据牛顿第二定律得：加速度为 $\mathtt { a } = { \frac { F } { m } }$

P在磁场中运动时速度的大小 $\mathrm { v } _ { 0 } { = } \mathrm { a t } , \ \mathrm { t } { = } \frac { 1 } { 2 }$ τ

解得， $\mathrm { v } _ { 0 } { = } \frac { q E _ { 0 } \tau } { 2 m } ;$

（2）只有当t＝2τ时刻，P在磁场中作圆周运动结束后并开始沿x轴负方向运动，才能沿一定的轨道作往复运动，如图所示。设粒子在磁场中圆周运动的周期为T，则 $( { \mathfrak { n } } - { \frac { 1 } { 2 } } )$ T＝τ，（n＝1，2，3…）

粒子做匀速圆周运动时，有 $\mathrm { q v B } _ { 0 } { = } \mathrm { m } \frac { v ^ { 2 } } { r } ,$ ，而 $\mathrm { T } { = } \frac { 2 \pi r } { v }$

解得， ${ \mathrm { B } } _ { 0 } { = } \frac { ( 2 n { - } 1 ) \pi m } { q \tau } , ~ \left( { \mathrm { n } } { = } 1 , ~ 2 , ~ 3 ^ { \ldots } \right)$

（3）在 $\mathbf { t } _ { 0 }$ 时刻释放P，P 在电场中加速时间为 $\mathrm { ~ \tt ~ { ~ T ~ } ~ } - \mathrm { \Delta t _ { 0 } ~ }$

在磁场中作匀速圆周运动的速度为 $\mathbf { v } _ { 1 } { = } \frac { q E _ { 0 } ( \tau - t _ { 0 } ) } { m }$

圆周运动的半径为 $\mathbf { r } _ { 1 } { = } \frac { m v _ { 1 } } { q B _ { 0 } }$

解得， $\mathbf { r } _ { 1 } \mathbf { = } \frac { E _ { 0 } ( \tau - t _ { 0 } ) } { B _ { 0 } }$

又经 $\mathrm { ~ ( ~ \tau ~ - t _ { 0 } ) ~ }$ 时间P减速为零后向右加速时间为 $\mathbf { t } _ { 0 } ,$

P再次进入磁场速度为 $\mathrm { v } _ { 2 } \mathrm { = } \frac { q E _ { 0 } t _ { 0 } } { m }$

圆周运动的半径为 $\mathrm { r } _ { 2 } \mathrm { = } \frac { m v _ { 2 } } { q B _ { 0 } }$

解得， $\mathbf { r } _ { 2 } { = } \frac { E _ { 0 } t _ { 0 } } { B _ { 0 } }$

综上分析，速度为零时横坐标为 $\mathbf { x } = 0$

相应的纵坐标为： $\mathrm { y } { = } \left\{ { 2 } [ k r _ { 1 } - ( k - 1 ) r _ { 2 } ] , ~ ( \mathrm { k } { = } 1 , ~ 2 , ~ 3 , ~ \cdots ) \right.$

解得： $\mathbf { y } = { \left\{ \begin{array} { l l } { { \frac { 2 E _ { 0 } [ k ( \tau - 2 t _ { 0 } ) + t _ { 0 } ] q \tau } { ( 2 n - 1 ) \pi m } } } , & { } \\ { { \frac { 2 k E _ { 0 } ( \tau - 2 t _ { 0 } ) q \tau } { ( 2 n - 1 ) \pi m } } } \end{array} \right. } , \ ( \mathbf { k } { = } 1 , \ 2 , \ 3 , \ \cdots )$

答：（1）P 在磁场中运动时速度的大小 $\mathbf { v } _ { 0 }$ 为 $\frac { q E _ { 0 } \tau } { 2 m }$ 。

> ② $\mathrm { B } _ { 0 }$ 应满足的关系为 ${ \mathrm { B } } _ { 0 } { = } \frac { ( 2 n { - } 1 ) \pi m } { q \tau } , ~ \mathrm { ( n { = } 1 , ~ } ~ 2 , ~ 3 { \cdots } ) ;$

（3）在 $\mathrm { t } _ { 0 } \ ( 0 { < } \mathrm { t } _ { 0 } { < } \mathrm { ~ \tau ~ } / 2 \AA )$ ）时刻释放 P，P 速度为零时横坐标为 $\mathbf { x } = 0$ ，相应的纵坐标为 y$= \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 2 E _ { 0 } \left[ k \left( \tau - 2 t _ { 0 } \right) + t _ { 0 } \right] q \tau } { ( 2 n - 1 ) \pi m } } \\ { \frac { 2 k E _ { 0 } \left( \tau - 2 t _ { 0 } \right) q \tau } { ( 2 n - 1 ) \pi m } } \end{array} \right. ,$ ，（k＝1，2，3，…）

【点评】本题是带电粒子在复合场中运动的问题，分析粒子的受力情况，确定其运动情况，关键是运用几何知识求解坐标。