已知数列 a_ n 和 b_ n 满足 a_ 1 =1,…——2019 高考数学第 19 题答案解析

【解析】
【分析】
（1）可通过题意中的 $4 a_{n+1}=3 a_{n}-b_{n}+4$ 以及 $4 b_{n+1}=3 b_{n}-a_{n}-4$ 对两式进行相加和相减即可推导出数列 $\left\{a_{n}+b_{n}\right\}$ 是等比数列以及数列 $\left\{a_{n}-b_{n}\right\}$ 是等差数列；
（2）可通过（1）中的结果推导出数列 $\left\{a_{n}+b_{n}\right\}$ 以及数列 $\left\{a_{n}-b_{n}\right\}$ 的通项公式，然后利用数列 $\left\{a_{n}+b_{n}\right\}$ 以及数列 $\left\{a_{n}-b_{n}\right\}$ 的通项公式即可得出结果。

【详解】（1）由题意可知 $4 a_{n+1}=3 a_{n}-b_{n}+4,4 b_{n+1}=3 b_{n}-a_{n}-4, a_{1}+b_{1}=1$ ， $a_{1}-b_{1}=1$,

所以 $4 a_{n+1}+4 b_{n+1}=3 a_{n}-b_{n}+4+3 b_{n}-a_{n}-4=2 a_{n}+2 b_{n}$ ，即 $a_{n+1}+b_{n+1}=\frac{1}{2}\left(a_{n}+b_{n}\right)$ ，
所以数列 $\left\{a_{n}+b_{n}\right\}$ 是首项为 1 、公比为 $\frac{1}{2}$ 的等比数列，$a_{n}+b_{n}=\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$ ，

因为 $4 a_{n+1}-4 b_{n+1}=3 a_{n}-b_{n}+4-\left(3 b_{n}-a_{n}-4\right)=4 a_{n}-4 b_{n}+8$ ，

所以 $a_{n+1}-b_{n+1}=a_{n}-b_{n}+2$ ，数列 $\left\{a_{n}-b_{n}\right\}$ 是首项 1 、公差为 2 的等差数列，
$a_{n}-b_{n}=2 n-1 。$
（2）由（1）可知，$a_{n}+b_{n}=\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}, a_{n}-b_{n}=2 n-1$ ，
所以 $a_{n}=\frac{1}{2}\left(a_{n}+b_{n}+a_{n}-b_{n}\right)=\frac{1}{2^{n}}+n-\frac{1}{2}, b_{n}=\frac{1}{2} a_{n}+b_{n}-\left(a_{n}-b_{n}\right) \dot{\mathrm{u}}=\frac{1}{2^{n}}-n+\frac{1}{2}$ 。
【点睛】本题考查了数列的相关性质，主要考查了等差数列以及等比数列的相关证明，证明数列是等差数列或者等比数列一定要结合等差数列或者等比数列的定义，考查推理能力 ，考查化归与转化思想，是中档题。