2013_新课标I卷
19．（12分）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为 $\frac { 1 } { 2 }$ ，且各件产品是否为优质品相互独立
（Ⅰ）求这批产品通过检验的概率；
（Ⅱ）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望
见解析
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差
【专题】5I：概率与统计
【分析】（Ⅰ）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件 $\mathsf { A } _ { 1 }$ ，第一次取出的4件产品全是优质品为事件 ${ \sf A } _ { 2 }$ ，第二次取出的4件产品全是优质品为事件$\mathsf { B } _ { 1 }$ ，第二次取出的1件产品是优质品为事件 $\cdot \mathsf { B } _ { 2 }$ ，这批产品通过检验为事件A，依题意有 $\mathsf { A } \equiv \mathrm { ~ ( ~ } \mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { B } _ { 1 } \mathrm { ) ~ \cup ~ ( ~ } \mathsf { A } _ { 2 } \mathsf { B } _ { 2 } \mathrm { ) }$ ，且 $\mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { B } _ { 1 }$ 与 $\mathsf { A } _ { 2 } \mathsf { B } _ { 2 }$ 互斥，由概率得加法公式和条件概率，代入数据计算可得；
（Ⅱ）X可能的取值为400，500，800，分别求其概率，可得分布列，进而可得期望值
【解答】解：（Ⅰ）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件 $\mathsf { A } _ { 1 }$ ，第一次取出的4件产品全是优质品为事件 ${ \sf A } _ { 2 }$ ，
第二次取出的4件产品全是优质品为事件 $\mathtt { \cdot B _ { 1 } }$ ，第二次取出的1件产品是优质品为事件 $\cdot \mathsf { B } _ { 2 }$ ，
这批产品通过检验为事件A，依题意有 $\mathsf { A } \equiv \mathrm { ~ ( ~ } \mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { B } _ { 1 } \mathrm { ) ~ \mathsf { U } ~ \mathsf { ( A } _ { 2 } \mathsf { B } _ { 2 } \mathrm { ) } }$ ，且 $\mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { B } _ { 1 }$ 与 $\mathsf { A } _ { 2 } \mathsf { B } _ { 2 }$ 互斥
所以P ${ \begin{array} { l } { { \mathrm { ~ ~ { ~ \hat { ~ } { ~ \psi ~ } ~ } } } ( \mathbf { A } ) } \end{array} } = { \mathsf { P } } { \begin{array} { l } { ( \mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { B } _ { 1 } ) \quad { \mathrm { ~ \tiny ~ + ~ { \mathsf { P } } ~ } } ( \mathsf { A } _ { 2 } \mathsf { B } _ { 2 } ) \quad { \mathrm { = } } { \mathsf { P } } ( \mathsf { A } _ { 1 } ) \mathsf { \Lambda } { \mathsf { P } } ( \mathsf { B } _ { 1 } | \mathsf { A } _ { 1 } ) \quad { \mathrm { + } } { \mathsf { P } } ( \mathsf { A } _ { 2 } ) \mathsf { \Lambda } { \mathsf { P } } ( \mathsf { B } _ { 2 } | \mathsf { A } _ { 2 } ) } \end{array} }$
$$ = \frac { 4 } { 1 6 } \times \frac { 1 } { 1 6 } + \frac { 1 } { 1 6 } \times \frac { 1 } { 2 } = \frac { 3 } { 6 4 } $$
（Ⅱ）X可能的取值为400，500，800，并且P $( x = 8 0 0 ) = \frac { 1 } { 4 } , P ( x = 5 0 0 ) = \frac { 1 } { 1 6 } ,$ $P ( x = 4 0 0 ) = 1 - \frac { 1 } { 1 6 } - \frac { 1 } { 4 } = \frac { 1 1 } { 1 6 }$ ，故X的分布列如下：
<table><tr><td rowspan=1 colspan=1>X</td><td rowspan=1 colspan=1>400</td><td rowspan=1 colspan=1>500</td><td rowspan=1 colspan=1>800</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>P</td><td rowspan=1 colspan=1> $\frac { 1 1 } { 1 6 }$ </td><td rowspan=1 colspan=1> $\frac { 1 } { 1 6 }$ </td><td rowspan=1 colspan=1> $\frac { 1 } { 4 }$ </td></tr></table>
故 $\mathsf { E X } = 4 0 0 \times \frac { 1 1 } { 1 6 } + 5 0 0 \times \frac { 1 } { 1 6 } + 8 0 0 \times \frac { 1 } { 4 } = 5 0 6 . 2 5$
【点评】本题考查离散型随机变量及其分布列涉及数学期望的求解，属中档题