（14分）（2016•江苏）在 A B C 中，AC=6，…——2016 高考数学第 15 题答案解析

【解答】
（14分）（2016•江苏）在 $\triangle \mathrm { A B C }$ 中，AC=6， $\cos B = \frac { 4 } { 5 } , C = \frac { \pi } { 4 }$

（1）求AB的长；

（2）求 $\cos { \mathrm { ~ ( A - \frac { \pi } { 6 } ) } }$ 的值．

【分析】（1）利用正弦定理，即可求AB的长；

（2）求出cosA、sinA，利用两角差的余弦公式求 $\cos \ ( \mathbf { A } - { \frac { \pi } { 6 } } )$ 的值

【解答】解：（1） $\because \triangle \mathrm { A B C }$ 中， $\cos B = { \frac { 4 } { 5 } } ,$

$$ \therefore \mathrm { s i n B } = { \frac { 3 } { 5 } } , $$

$$ \because \frac { A B } { \sin C } = \frac { A C } { \sin B } , $$

$$ \therefore \mathrm { A B } = { \frac { 6 \times \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } } { \frac { 3 } { 5 } } } - 5 { \sqrt { 2 } } ; $$

$$ \mathrm { c o s A } \mathrm { = } \mathrm { - } \mathrm { c o s ~ } \left( \mathrm { C } \mathrm { + } \mathrm { B } \right) \mathrm { = } \mathrm { s i n B s i n C - c o s B c o s C = } \mathrm { - } \frac { \sqrt { 2 } } { 1 0 } \mathrm { . } $$

∵A为三角形的内角，

$$ \therefore \mathrm { s i n A } = { \frac { 7 { \sqrt { 2 } } } { 1 0 } } , $$

$$ \therefore \cos ( \mathbf { A } - { \frac { \pi } { 6 } } ) = { \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } } \mathrm { c o s } \mathbf { A } + { \frac { 1 } { 2 } } \mathrm { s i n A } = { \frac { 7 { \sqrt { 2 } } - { \sqrt { 6 } } } { 2 0 } } . $$

【点评】本题考查正弦定理，考查两角和差的余弦公式，考查学生的计算能力，属于基础题