设 α 为锐角，若 cos (α+ π 6 )= 4 5，…——2012 高考数学第 11 题答案解析

【解答】
（ 5 分）（ $2012 \cdot$ 江苏）设 $\alpha$ 为锐角，若 $\cos \left(\alpha+\frac{\pi}{6}\right)=\frac{4}{5}$ ，则 $\sin \left(2 \alpha+\frac{\pi}{12}\right)$ 的值为— $\frac{17 \sqrt{2}}{50}$.

考点 三角函数中的恒等变换应用；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数；二 ：倍角的正弦。
专题 三角函数的求值；三角函数的图像与性质．
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分析 先设 $\beta=\alpha+\frac{\pi}{6}$ ，根据 $\cos \beta$ 求出 $\sin \beta$ ，进而求出 $\sin 2 \beta$ 和 $\cos 2 \beta$ ，最后用两角和的正弦公式得到 $\sin \left(2 \alpha+\frac{\pi}{12}\right)$ 的值．

解答 解：设 $\beta=\alpha+\frac{\pi}{6}$ ，
$\therefore \sin \beta=\frac{3}{5}, \quad \sin 2 \beta=2 \sin \beta \cos \beta=\frac{24}{25}, \quad \cos 2 \beta=2 \cos ^{2} \beta-1=\frac{7}{25}$ ，
$\therefore \sin \left(2 \alpha+\frac{\pi}{12}\right)=\sin \left(2 \alpha+\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}\right)=\sin \left(2 \beta-\frac{\pi}{4}\right)=\sin 2 \beta \cos \frac{\pi}{4}-\cos 2 \beta \sin \frac{\pi}{4}=$
$\frac{17 \sqrt{2}}{50}$.
故答案为：$\frac{17 \sqrt{2}}{50}$ ．
点评 本题要我们在已知锐角 $\alpha+\frac{\pi}{6}$ 的余弦值的情况下，求 $2 \alpha+\frac{\pi}{12}$ 的正弦值，着重考查了两角和与差的正弦、余弦公式和二倍角的正弦、余弦等公式，考查了三角函数中的恒等变换应用，属于中档题。