2012_退役省自主命题 (2012·理)
19．（本题满分 12 分）在三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，已知 $A B=A C=A A_{1}=\sqrt{5}, B C=4$ ，点 $A_{1}$ 在底面 $A B C$ 的投影是线段 $B C$ 的中点 $O$ 。
（1）证明在侧棱 $\mathrm{AA}_{1}$ 上存在一点 E ，使得 $\mathrm{OE} \perp$ 平面 $\mathrm{BB}_{1} \mathrm{C}_{1} \mathrm{C}$ ，并求出 AE 的长；
（2）求平面 $A_{1} B_{1} C$ 与平面 ${B B_{1}} C_{1} C$ 夹角的余弦值。
【答案】：（1）$\frac{\sqrt{5}}{5}$（2）$\frac{\sqrt{30}}{10}$
【解析】：（1）证明：连接 $A O, \triangle A O A_{1}$ 中，作 $O E \perp A A_{1}$ 于点 $E$ ，因为 $A A_{1} / / B B_{1}$ ，得 $O E \perp B B_{1}$ ，
$A_{1} \mathrm{O} \perp$ 平面 $A B C$ ，所以 $A_{1} \mathrm{O} \perp B C$
因为 $A B=A C, O B=O C$ ，得 $A O \perp B C$ ，所以 $B C \perp$ 平面 $A A_{1} O$ ，所以 $B C \perp O E$ ，
所以 $O E \perp$ 平面 $B B_{1} C_{1} C$ ，又 $A O=\sqrt{A B^{2}-B O^{2}}=1, A A_{1}=\sqrt{5}$ ，
得 $A E=\frac{A O^{2}}{A A_{1}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$ ．
（2）解：如图，分别以 $O A, O B, O A_{1}$ 所在直线为 $x, y, z$ 轴，
建立空间直角坐标系，则 $A(1,0,0), B(0,2,0), C(0,-2,0), A_{1}(0,0,2)$
由 $\overline{A E}=\frac{1}{5} \overrightarrow{A A_{1}}$ 得点 $E$ 的坐标是 $\left(\frac{4}{5}, 0, \frac{2}{5}\right)$
由（1）得平面 $B B_{1} C_{1} C$ 的法向量是 $\overline{0 E}=\left(\frac{4}{5}, 0, \frac{2}{5}\right)$ ，
设平面 $A_{1} B_{1} C$ 的法向量 $n=(x, y, z)$ ，
由 $\left\{\begin{array}{l}n \cdot \overrightarrow{A B}=0 \\ n \cdot \overrightarrow{A_{1} C}=0\end{array}\right.$ 得 $\left\{\begin{array}{c}-x+2 y=0 \\ y+z=0\end{array}\right.$ ，令 $y=1$, 得 $x=2, z=-1$, 即 $n=(2,1,-1)$ ，
所以 $\cos \langle\overline{O E}, n\rangle=\frac{\overline{O E} \cdot n}{|\overline{O E}| \cdot|n|}=\frac{\sqrt{30}}{10}$ 即平面
$B B_{1} C_{1} C$ 与平面 $A_{1} B_{1} C$ 的夹角的余弦值是 $\frac{\sqrt{30}}{10}$
【考点定位】本题考查线面垂直，二面角、向量法在解决立体几何问题中的应用以及空间想象的能力。高考中，立体几何解答题一般有以下三大方向的考查一、考查与垂直，平行有关的线面关系的证明；二、考查空间几何体的体积与表面积；三、考查异面角，线面角，二面角等角度问题．前两种考查多出现在第 1 问，第 3 种考查多出现在第 2 问；对于角度问题，一般有直接法与空间向量法两种求解方法