已知 2+log _ 2 x=3+log _ 3 y=5+…——2025 高考数学第 8 题答案解析

【答案】B

$$ \text { 令 } 2+\log _{2} x=3+\log _{3} y=5+\log _{5} z=k \text {, 则 } x=2^{k-2}, ~ y=3^{k-3}, ~ z=5^{k-5} $$

$k=5, y>x>z ; k=4, x>y>z ; k=10, z>y>x ; k=8, y>z>x$（此时已经知道答案为 B，下面验证）

$z>y \Rightarrow 5^{k-5}>3^{k-3}, \quad k>\frac{\ln \frac{3125}{27}}{\ln \frac{5}{3}}$ ，此时 $\frac{y}{x}=\frac{3^{k-3}}{2^{k-2}}=\frac{3^{k-3}}{2^{k-3} \cdot 2}=\frac{1}{2}\left(\frac{3}{2}\right)^{k-3}$
$>\frac{1}{2}\left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{\ln \frac{3125}{27}}{\ln \frac{5}{3}}-3}=\frac{1}{2}\left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{\ln 25}{\ln \frac{5}{3}}}=\frac{1}{2}\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{9}{8}>1$（此时 $y>x$ ），∴ 不可能有 $x>z>y$ ，选 B。
点评：三个值相等设为 k，x，y，z 都用 k 表示，k 取出不同的值，得到不同的 x，y，z 大小关系，在考试中，不要再去验证答案了，本题一到两分钟就该找到正确的结果。