（12分）如图，三棱柱 A B C-A_ 1 B_ 1 C…——2013 高考数学第 18 题答案解析

【考点】LW：直线与平面垂直；$L Y$ ：平面与平面垂直；$M I$ ：直线与平面所成的角．

【专题】5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．
【分析】（ $I$ ）取 $A B$ 的中点 $O$ ，连接 $O C,{O A_{1}}, A_{1} B$ ，由已知可证 $O A_{1} \perp A B, A B \perp$平面 $O A_{1} C$ ，进而可得 $A B \perp A_{1} C$ ；
（II）易证 $O A, O A_{1}, O C$ 两两垂直。以 $O$ 为坐标原点， $\overrightarrow{O A}$ 的方向为 $x$ 轴的正向，

$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|$ 为单位长，建立坐标系，可得 $\overrightarrow{\mathrm{BC}}, \overrightarrow{\mathrm{BB}}, \overrightarrow{\mathrm{A}_{1} \mathrm{C}}$ 的坐标，设 $\overrightarrow{\mathrm{n}}=(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})$为平面 $\mathrm{BB}_{1} \mathrm{C}_{1} \mathrm{C}$ 的法向量，则 $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{\mathrm{n}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}=0 \\ \overrightarrow{\mathrm{n}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BB}_{1}}=0\end{array}\right.$ ，可解得 $\overrightarrow{\mathrm{n}}=(\sqrt{3}, 1,-1)$ ，可求 $\mid \mathrm{c} \mathrm{os}<\overrightarrow{\mathrm{n}}, \overrightarrow{\mathrm{A}_{1} \mathrm{C}}>1$ ，即为所求正弦值。

【解答】解：（ I ）取 AB 的中点 O ，连接 $\mathrm{OC}, \mathrm{OA}_{1}, \mathrm{~A}_{1} \mathrm{~B}$ ，
因为 $C A=C B$ ，所以 $O C \perp A B$ ，由于 $A B=A A_{1}, \angle B A A_{1}=60^{\circ}$ ，
所以 $\triangle A A_{1} B$ 为等边三角形，所以 $O A_{1} \perp A B$ ，
又因为 $O C \cap O A_{1}=O$ ，所以 $A B \perp$ 平面 $O A_{1} C$ ，
又 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{C} \subset$ 平面 $\mathrm{OA}_{1} \mathrm{C}$ ，故 $\mathrm{AB} \perp \mathrm{A}_{1} \mathrm{C}$ ；
（II）由（I）知 $O C \perp A B, ~ O A_{1} \perp A B$ ，又平面 $A B C \perp$ 平面 $A A_{1} B_{1} B$ ，交线为 $A B$ ，所以 $O C \perp$ 平面 $A A_{1} B_{1} B$ ，故 $O A, O A_{1}, O C$ 两两垂直．

以 O 为坐标原点， $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ 的方向为 x 轴的正向，$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|$ 为单位长，建立如图所示的坐标系，

可得 $A(1,0,0), A_{1}(0, \sqrt{3}, 0), C(0,0, \sqrt{3}), B(-1,0,0)$ ，则 $\overrightarrow{\mathrm{BC}}=(1,0, \sqrt{3}), \overrightarrow{\mathrm{BB}_{1}}=\overrightarrow{\mathrm{AA}_{1}}=(-1, \sqrt{3}, 0), \overrightarrow{\mathrm{A}_{1} \mathrm{C}}=(0,-\sqrt{3}, \sqrt{3})$ ，

设 $\overrightarrow{\mathrm{n}}=(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})$ 为平面 $\mathrm{BB}_{1} \mathrm{C}_{1} \mathrm{C}$ 的法向量，则 $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{\mathrm{n}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}=0 \\ \overrightarrow{\mathrm{n}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{B} \mathrm{B}_{1}}=0\end{array}\right.$ ，即 $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}+\sqrt{3} \mathrm{z}=0 \\ -\mathrm{x}+\sqrt{3} \mathrm{y}=0\end{array}\right.$ ，
可取 $y=1$ ，可得 $\overrightarrow{\mathrm{n}}=(\sqrt{3}, 1,-1)$ ，故 $\cos <\overrightarrow{\mathrm{n}}, \overrightarrow{\mathrm{A}_{1} \mathrm{C}}>=\frac{\overrightarrow{\mathrm{n}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{A}_{1} \mathrm{C}}}{|\overrightarrow{\mathrm{n}}|\left|\overrightarrow{\mathrm{A}_{1} \mathrm{C}}\right|}=\frac{\sqrt{10}}{5}$ ，
又因为直线与法向量的余弦值的绝对值等于直线与平面的正弦值，故直线 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{C}$ 与平面 $\mathrm{BB}_{1} \mathrm{C}_{1} \mathrm{C}$ 所成角的正弦值为：$\frac{\sqrt{10}}{5}$ ．

【点评】本题考查直线与平面所成的角，涉及直线与平面垂直的性质和平面与

平面垂直的判定，属难题．