如图，在平行四边形 A B C D 中，已知 A B=8，…——2014 高考数学第 12 题答案解析

【解答】
（5分）（2014•江苏）如图，在平行四边形 ABCD 中，已知 $\mathrm{AB}=8, \mathrm{AD}=5, \overrightarrow{\mathrm{CP}}=3 \overrightarrow{\mathrm{PD}}$ ， $\overrightarrow{\mathrm{AP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BP}}=2$ ，则 $\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}$ 的值是 $\_\_\_\_$ 22 ．

考点 向量在几何中的应用；平面向量数量积的运算．
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专题 平面向量及应用．
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分析 由 $\overrightarrow{\mathrm{CP}}=3 \overrightarrow{\mathrm{PD}}$ ，可得 $\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\frac{1}{4} \overrightarrow{\mathrm{AB}}, \overrightarrow{\mathrm{BP}}=\overrightarrow{\mathrm{AD}}-\frac{3}{4} \overrightarrow{\mathrm{AB}}$ ，进而由 $A B=8, A D=5, \overrightarrow{\mathrm{CP}}=3 \overrightarrow{\mathrm{PD}}$ ，
$\overrightarrow{\mathrm{AP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BP}}=2$ ，构造方程，进而可得答案。
解答
解：$\because \overrightarrow{\mathrm{CP}}=3 \overrightarrow{\mathrm{PD}}$ ，

$\therefore \overrightarrow{\mathrm{AP}}=\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\frac{1}{4} \overrightarrow{\mathrm{AB}}, \overrightarrow{\mathrm{BP}}=\overrightarrow{\mathrm{AD}}-\frac{3}{4} \overrightarrow{\mathrm{AB}}$,
又 $\because A B=8, ~ A D=5$ ，
$\therefore \overrightarrow{\mathrm{AP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BP}}=\left(\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\frac{1}{4} \overrightarrow{\mathrm{AB}}\right) \cdot\left(\overrightarrow{\mathrm{AD}}-\frac{3}{4} \overrightarrow{\mathrm{AB}}\right)=|\overrightarrow{\mathrm{AD}}|^{2}-\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}-\frac{3}{16}|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|^{2}=25-\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}-1$
$2=2$ ，
故 $\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}=22$ ，
故答案为： 22 ．
点评 本题考查的知识点是向量在几何中的应用，平面向量数量积的运算，其中根据已知
：得到 $\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\frac{1}{4} \overrightarrow{\mathrm{AB}}, \overrightarrow{\mathrm{BP}}=\overrightarrow{\mathrm{AD}}-\frac{3}{4} \overrightarrow{\mathrm{AB}}$ ，是解答的关键。