（5分）向量 a , b , c 在正方形网格中的位置如图…——2013 高考数学第 13 题答案解析

【考点】9H：平面向量的基本定理．
【专题】5A：平面向量及应用．
【分析】以向量 $\overrightarrow{\mathrm{a}} , \overrightarrow{\mathrm{~b}}$ 的公共点为坐标原点，建立如图直角坐标系，得到向量 $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ 、 $\vec{b} , \vec{c}$ 的坐标，结合题中向量等式建立关于 $\lambda , \mu$ 的方程组，解之得 $\lambda=-2$ 且 $\mu=-\frac{1}{2}$ ，即可得到 $\frac{\mu}{\lambda}$ 的值．

【解答】解：以向量 $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ 、 $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ 的公共点为坐标原点，建立如图直角坐标系
可得 $\vec{a}=(-1,1), \vec{b}=(6,2), \vec{c}=(-1,-3)$
$\because \vec{c}=\lambda \vec{a}+\mu \vec{b}(\lambda, \quad \mu \in R)$
$\therefore\left\{\begin{array}{l}-1=-\lambda+6 \mu \\ -3=\lambda+2 \mu\end{array}\right.$ ，解之得 $\lambda=-2$ 且 $\mu=-\frac{1}{2}$

因此，$\frac{\lambda}{\mu}=\frac{-2}{-\frac{1}{2}}=4$
故答案为： 4

【点评】本题给出向量 $\overrightarrow{\mathrm{c}}$ 用向量 $\overrightarrow{\mathrm{a}} , \overrightarrow{\mathrm{~b}}$ 线性表示，求系数 $\lambda , \mu$ 的比值，着重考查了平面向量的坐标运算法则和平面向量基本定理及其意义等知识，属于基础题．