17．如图，已知 $A A_{1} \perp$ 平面 $\mathrm{ABC}, B B_{1} \| A A_{1}, \mathrm{AB}=\mathrm{AC}=3, B C=2 \sqrt{5}, A A_{1}=\sqrt{7}, B B_{1}=2 \sqrt{7}$ ，点 $\mathrm{E}, \mathrm{F}$分别是 $\mathrm{BC}, A_{1} C$ 的中点，
（ I ）求证： $\mathrm{EF} \|$ 平面 $A_{1} B_{1} B A$ ；（II）求证：平面 $A E A_{1} \perp$ 平面 $B C B_{1}$ 。
（III）求直线 $A_{1} B_{1}$ 与平面 $B C B_{1}$ 所成角的大小。
参考答案见解析 解析过程： （I）证明：如图，连接 $A_{1} B$ ，  在 $\triangle A_{1} B C$ 中，因为 $E$ 和 $F$ 分别是 $B C, A_{1} C$ 的中点，所以 $E F \| B A_{1}$ ，又因为 $E F \not \subset$ 平面 $A_{1} B_{1} B A$ ， 所以 $E F \|$ 平面 $A_{1} B_{1} B A$ ． （II）因 为 $A B=A C, E$ 为 $B C$ 中点，所以 $A E \perp B C$ ， 因为 $A A_{1} \perp$ 平面 $A B C, B B_{1} \| A A_{1}$ ， 所以 $B B_{1} \perp$ 平面 $A B C$ ，从而 $B B_{1} \perp A E$ ， 又 $B C \cap B B_{1}=B$ ，所以 $A E \perp$ 平面 $B C B_{1}$ ， 又因为 $A E \subset$ 平面 $A E A_{1}$ ，所以平面 $A E A_{1} \perp$ 平面 $B C B_{1}$ ． （III）取 $B B_{1}$ 中点 $M$ 和 $B_{1} C$ 中点 $N$ ，连接 $A_{1} M, A_{1} N$ ， 因为 $N$ 和 $E$ 分别为 $B_{1} C, B C$ 中点， 所以 $N E / / B B_{1}, N E=\frac{1}{2} B B_{1}$ ， 故 $N E / / A A_{1}, N E=A A_{1}$ ， 所以 $A_{1} N / / A E, A_{1} N=A E$ ， 又因为 $A E \perp$ 平面 $B C B_{1}$ ，所以 $A_{1} N \perp$ 平面 $B C B_{1}$ ， 从而 $\angle A_{1} B_{1} N$ 就是直线 $A_{1} B_{1}$ 与平面 $B C B_{1}$ 所成角， 在 $\triangle A B C$ 中，可得 $A E=2$ ，所以 $A_{1} N=A E=2$ ， 因为 $B M / / A A_{1}, B M=A A_{1}$ ，所以 $A_{1} M / / A B, A_{1} M=A B$ ， 又由 $A B \perp B B_{1}$ ，有 $A_{1} M \perp B B_{1}$ ， 在 Rt $\triangle A_{1} M B_{1}$ 中，可得 $A_{1} B_{1}=4$ ， 在Rt $\Delta A_{1} N B_{1}$ 中， $\sin \angle A_{1} B_{1} N=\frac{A_{1} N}{A_{1} B}=\frac{1}{2}$ ， 因此 $\angle A_{1} B_{1} N=30^{\circ}$ ，所以，直线 $A_{1} B_{1}$ 与平面 $B C B_{1}$ 所成角为 $30^{\circ}$ ．
