2012_浙江卷 (2012·理)
18．（本题满分 14 分）在 $\triangle A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ．已知 $\cos A=\frac{2}{3}, \quad \sin B=\sqrt{5} \cos C$ ．
（I）求 $\tan C$ 的值；
（II）若 $a=\sqrt{2}$ ，求 $\triangle A B C$ 的面积．
本题主要考查三角恒等变换、正弦定理等知识，同时考查运算求解能力。满分 $\mathbf{1 4}$分。 （I）因为 $0<A<\pi, \cos A=\frac{2}{3}$ ，得
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【答案】本题主要考查三角恒等变换、正弦定理等知识，同时考查运算求解能力。满分 $\mathbf{1 4}$分。
（I）因为 $0<A<\pi, \cos A=\frac{2}{3}$ ，得
$$ \sin A=\sqrt{1-\cos ^{2} A}=\frac{\sqrt{5}}{3} $$
又 $\quad \sqrt{5} \cos C=\sin B=\sin (A+C)$
$$ \begin{aligned} & =\sin A \cos C+\cos A \sin C \\ & =\frac{\sqrt{5}}{3} \cos C+\frac{2}{3} \sin C \end{aligned} $$
所以 $\tan C=\sqrt{5}$
（II）由 $\tan C=\sqrt{5}$ ，得
$$ \sin C=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}}, \quad \cos C=\frac{1}{\sqrt{6}} $$
于是
$$ \sin B=\sqrt{5} \cos C=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}} $$
由 $a=\sqrt{2}$ 及正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C}$ ，得
$$ c=\sqrt{3} . $$
设 $\triangle A B C$ 的面积为 $S$ ，则
$$ S=\frac{1}{2} a c \sin B=\frac{\sqrt{5}}{2} . $$