（5分）已知函数 y=x^ 3 -3 x+c 的图象与 x…——2012 高考数学第 10 题答案解析

【考点】53：函数的零点与方程根的关系；6D：利用导数研究函数的极值．
【专题】11：计算题．
【分析】求导函数，确定函数的单调性，确定函数的极值点，利用函数 $\mathrm{y}=\mathrm{x}^{3}-3 x+c$ 的图象与 $x$ 轴恰有两个公共点，可得极大值等于 0 或极小值等于 0 ，由此可求 c 的值．

【解答】解：求导函数可得 $y^{\prime}=3(x+1)(x-1)$ ，
令 $\mathrm{y}^{\prime}>0$ ，可得 $\mathrm{x}>1$ 或 $\mathrm{x}<-1$ ；令 $\mathrm{y}^{\prime}<0$ ，可得 $-1<\mathrm{x}<1$ ；
∴ 函数在 $(-\infty,-1),(1,+\infty)$ 上单调增，$(-1,1)$ 上单调减，
∴ 函数在 $\mathrm{x}=-1$ 处取得极大值，在 $\mathrm{x}=1$ 处取得极小值．
∵ 函数 $y=x^{3}-3 x+c$ 的图象与 $x$ 轴恰有两个公共点，
∴ 极大值等于 0 或极小值等于 0 。
$\therefore 1-3+c=0$ 或 $-1+3+c=0$ ，
$\therefore c=-2$ 或 2 ．

故选：A．
【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，解题的关键是利用极大值等于 0 或极小值等于 0 。