当 x [-2,1] 时，不等式 a x^ 3 -x^ 2…——2014 高考数学第 11 题答案解析

【答案】 $C$

## 【解析】

试题分析：当 $x=0$ 时，原式恒成立；
当 $x \in(0,1]$ 时，原式等价于 $a \geq\left(\frac{x^{2}-4 x-3}{x^{3}}\right)_{\text {max }}$ 恒成立；

当 $x \in[-2,0)$ 时，原式等价于 $a \leq\left(\frac{x^{2}-4 x-3}{x^{3}}\right)_{\min }$ 恒成立；
令 $f(x)=\frac{x^{2}-4 x-3}{x^{3}}, x \in[-2,0) \cup(0,1], \because f(x)=\frac{x^{2}-4 x-3}{x^{3}}=\frac{1}{x}-\frac{4}{x^{2}}-\frac{3}{x^{3}}$，令 $t=\frac{1}{x}$，即
$y=-3 t^{3}-4 t^{2}+t, \therefore y^{\prime}=-9 t^{2}-8 t+1$，可知 $\left(-1, \frac{1}{9}\right)$ 为 $y$ 的增区间，$(-\infty,-1),\left(\frac{1}{9},+\infty\right)$ 为 $y$的减区间，所以当 $x \in(0,1]$ 时，即 $t \in[1,+\infty)$ 时，$=1$ 时 $y_{\text {max }}=-6$，即 $f(x)_{\text {max }}=-6 \therefore a \geq-6$；当 $x \in[-2,0)$ 时，即 $t \in\left(-\infty,-\frac{1}{2}\right)$ 时，$y$ 在 $(-\infty,-1)$ 上速减，在 $\left(-1,-\frac{1}{2}\right]$ 上递增，所以 $t=-1$ 时 $y_{\text {min }}=-2$，即 $f(x)_{\text {min }}=-2 \therefore a \leq-2$；综上，可知 $a$ 的取位洰围是 $[-6,-2]$，故选 $C$。

考点：不等式恒成立问题．