2018 高考数学第 19 题答案解析

19．（本小题满分 16 分）
记 $f^{\prime}(x), g^{\prime}(x)$ 分别为函数 $f(x), g(x)$ 的导函数．若存在 $x_{0} \in \mathbf{R}$ ，满足 $f\left(x_{0}\right)=g\left(x_{0}\right)$ 且 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=g^{\prime}\left(x_{0}\right)$ ，则称 $x_{0}$ 为函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的一个＂$S$ 点＂．
（1）证明：函数 $f(x)=x$ 与 $g(x)=x^{2}+2 x-2$ 不存在＂$S$ 点＂；
（2）若函数 $f(x)=a x^{2}-1$ 与 $g(x)=\ln x$ 存在＂$S$ 点＂，求实数 $a$ 的值；
（3）已知函数 $f(x)=-x^{2}+a, g(x)=\frac{b \mathrm{e}^{x}}{x}$ ．对任意 $a>0$ ，判断是否存在 $b>0$ ，使函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在区间 $(0,+\infty)$ 内存在＂ S 点＂，并说明理由．