（本小题满分 16 分） 记 f^ (x), g^ (x)…——2018 高考数学第 19 题答案解析

【解答】
本小题主要考查利用导数研究初等函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力。满分 $\mathbf{1 6}$ 分．

解：（1）函数 $f(x)=x, g(x)=x^{2}+2 x-2$ ，则 $f^{\prime}(x)=1, g^{\prime}(x)=2 x+2$ ．
由 $f(x)=g(x)$ 且 $f(x)=g^{\prime}(x)$ ，得
$\left\{\begin{array}{l}x=x^{2}+2 x-2 \\ 1=2 x+2\end{array}\right.$ ，此方程组无解，
因此，$f(x)$ 与 $g(x)$ 不存在＂$S$＂点．
（2）函数 $f(x)=a x^{2}-1, g(x)=\ln x$ ，
则 $f^{\prime}(x)=2 a x, g^{\prime}(x)=\frac{1}{x}$ ．
设 $x_{0}$ 为 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的＂$S$＂点，由 $f\left(x_{0}\right)=g\left(x_{0}\right)$ 且 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=g^{\prime}\left(x_{0}\right)$ ，得
$\left\{\begin{array}{l}a x_{0}^{2}-1=\ln x_{0} \\ 2 a x_{0}=\frac{1}{x_{0}}\end{array}\right.$ ，即 $\left\{\begin{array}{l}a x_{0}^{2}-1=\ln x_{0} \\ 2 a x_{0}^{2}=1\end{array},(*)\right.$
得 $\ln x_{0}=-\frac{1}{2}$ ，即 $x_{0}=\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}}$ ，则 $a=\frac{1}{2\left(\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}}\right)^{2}}=\frac{\mathrm{e}}{2}$ ．

当 $a=\frac{\mathrm{e}}{2}$ 时，$x_{0}=\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}}$ 满足方程组（＊），即 $x_{0}$ 为 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的＂$s$＂点．
因此，$a$ 的值为 $\frac{\mathrm{e}}{2}$ ．
（3）对任意 $a>0$ ，设 $h(x)=x^{3}-3 x^{2}-a x+a$ ．
因为 $h(0)=a>0, h(1)=1-3-a+a=-2<0$ ，且 $h(x)$ 的图象是不间断的，

所以存在 $x_{0} \in(0,1)$ ，使得 $h\left(x_{0}\right)=0$ ，令 $b=\frac{2 x_{0}^{3}}{\mathrm{e}^{x_{0}}\left(1-x_{0}\right)}$ ，则 $b>0$ ．
函数 $f(x)=-x^{2}+a, g(x)=\frac{b \mathrm{e}^{x}}{x}$ ，
则 $f^{\prime}(x)=-2 x, g^{\prime}(x)=\frac{b \mathrm{e}^{x}(x-1)}{x^{2}}$ ．
由 $f(x)=g(x)$ 且 $f(x)=g^{\prime}(x)$ ，得

$$ \left\{\begin{array}{l} -x^{2}+a=\frac{b \mathrm{e}^{x}}{x} \\ -2 x=\frac{b \mathrm{e}^{x}(x-1)}{x^{2}} \end{array}, \text { 即 }\left\{\begin{array}{l} -x^{2}+a=\frac{2 x_{0}^{3}}{\mathrm{e}^{x_{0}}\left(1-x_{0}\right)} \cdot \frac{\mathrm{e}^{x}}{x} \\ -2 x=\frac{2 x_{0}^{3}}{\mathrm{e}^{x_{0}}\left(1-x_{0}\right)} \cdot \frac{\mathrm{e}^{x}(x-1)}{x^{2}} \end{array} * *\right)\right. $$

此时，$x_{0}$ 满足方程组 $(* *)$ ，即 $x_{0}$ 是函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在区间 $(0,1)$ 内的一个＂$S$点＂．

因此，对任意 $a>0$ ，存在 $b>0$ ，使函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在区间 $(0,+\infty)$ 内存在＂$s$ 点＂