已知正数 a, b, c 满足： 5 c-3 a b 4…——2012 高考数学第 14 题答案解析

$$ \begin{aligned} & \quad \therefore \frac{c}{a}>\frac{1}{4} \\ & \quad \because 5 c-3 a \leq 4 c-a \\ & \quad \therefore \frac{c}{a} \leq 2 \end{aligned} $$

从而
$\frac{b}{a} \leq 2 \times 4-1=7$ ，特别当 $\frac{b}{a}=7$ 时，第二个不等式成立．等号成立当且仅当 $a: b: c=1: 7$
： 2 ．
又clnb $\geq a+c \operatorname{lnc}$,
$\therefore 0<\mathrm{a} \leq \mathrm{cln} \frac{\mathrm{b}}{\mathrm{c}}$ ，
从而 $\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}} \geq \frac{\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{c}}}{\ln \frac{\mathrm{b}}{\mathrm{c}}}$ ，设函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{\mathrm{x}}{\ln \mathrm{x}}(\mathrm{x}>1)$ ，
$\because f^{\prime}(x)=\frac{\ln x-1}{(\ln x)^{2}}$ ，当 $0<x<e$ 时，$f^{\prime}(x)<0$ ，当 $x>e$ 时，$f^{\prime}(x)>0$ ，当 $x=e$ 时
， $\mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x})=0$ ，
∴ 当 $\mathrm{x}=\mathrm{e}$ 时， $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 取到极小值，也是最小值．
$\therefore f(x)_{\min }=f(e)=\frac{e}{\ln e}=e$ ．
等号当且仅当 $\frac{b}{c}=e, \frac{b}{a}=e$ 成立。代入第一个不等式知： $2 \leq \frac{b}{a}=e \leq 3$ ，不等式成立，从而 $e$可以取得．等号成立当且仅当 $a: b: c=1: e: 1$ ．
从而 $\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}}$ 的取值范围是 $[\mathrm{e}, 7]$ 双闭区间．

点评
本题考查不等式的综合应用，得到 $\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}} \geq \frac{\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{c}}}{\ln \frac{\mathrm{b}}{\mathrm{c}}}$ ，通过构造函数求 $\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}}$ 的最小值是关键，也
是难点，考查分析与转化、构造函数解决问题的能力，属于难题．