（本小题满分 12 分） 如图 BCD 与 MCD 都是边…——2010 高考数学第 20 题答案解析

【解答】
（本小题满分 12 分）
如图 $\triangle \mathrm{BCD}$ 与 $\triangle \mathrm{MCD}$ 都是边长为 2 的正三角形，平面 $\mathrm{MCD} \perp$ 平面 $\mathrm{BCD}, \mathrm{AB} \perp$ 平面 $\mathrm{BCD}, A B=2 \sqrt{3}$ 。
（3）求点 A 到平面 MBC 的距离；
（4）求平面 ACM 与平面 BCD 所成二面角的正弦值。

【解析】本题以图形拼折为载体主要考查了考查立体图形的空间感、点到直线的距离、二面角、空间向量、二面角平面角的判断有关知识，同时也考查了空间想象能力和推理能力

解法一：（1）取 $C D$ 中点 $O$ ，连 $O B, O M$ ，则 $O B \perp C D$ ， $O M \perp C D$ ．又平面 $M C D \perp$ 平面 $B C D$ ，则 $M O \perp$ 平面 $B C D$ ，所以 $M O / / A B, A$ 、 $B , O , M$ 共面．延长 $A M , B O$ 相交于 $E$ ，则 $\angle A E B$ 就是 $A M$ 与平面 $B C D$ 所成的角．$O B=M O=\sqrt{3}, M O / / A B, M O / /$ 面 $\mathrm{ABC}, \mathrm{M} , 0$ 到平面 ABC 的距离相等，作 $O H \perp B C$ 于 $H$ ，连 $M H$ ，则 $M H \perp B C$ ，求得：
$0 \mathrm{H}=0 \operatorname{Csin} 60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}, \mathrm{MH}=\frac{\sqrt{15}}{2}$ ，利 用 体 积 相 等 得：

$V_{A-M B C}=V_{M-A B C} \Rightarrow d=\frac{2 \sqrt{15}}{5} 。$
②$C E$ 是平面 $A C M$ 与平面 $B C D$ 的交线．
由（1）知，$O$ 是 $B E$ 的中点，则 $B C E D$ 是菱形．
作 $B F \perp E C$ 于 $F$ ，连 $A F$ ，则 $A F \perp E C, \angle A F B$ 就是二面角 $A-E C-B$ 的平面角，设为 $\theta$ ．
因为 $\angle B C E=120^{\circ}$ ，所以 $\angle B C F=60^{\circ}$ ．
$B F=B C \cdot \sin 60^{\circ}=\sqrt{3}$,
$\tan \theta=\frac{A B}{B F}=2, \quad \sin \theta=\frac{2 \sqrt{5}}{5}$
所以，所求二面角的正弦值是 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ．

## 【点评】传统方法在处理时要注意到辅助线的处理，一般采用射影、垂线、平行线等特殊位置的元素解决

解法二：取 $C D$ 中点 $O$ ，连 $O B, O M$ ，则 $O B \perp C D, O M \perp C D$ ，又平面 $M C D \perp$ 平面 $B C D$ ，则 $M O \perp$ 平面 $B C D$ ．

以 $O$ 为原点，直线 $O C , B O , O M$ 为 $x$ 轴，$y$ 轴，$z$ 轴，建立空间直角坐标系如图．
$O B=O M=\sqrt{3}$ ，则各点坐标分别为 $O(0,0,0), C(1,0,0), M (0,0, \sqrt{3}), B(0,-\sqrt{3}, 0), A(0,-\sqrt{3}, 2 \sqrt{3})$,
（1）设 $\vec{n}=(x, y, z)$ 是平面 MBC 的法向量，则 $\overrightarrow{\mathrm{BC}}=(1, \sqrt{3}, 0)$ ，
$\overrightarrow{B M}=(0, \sqrt{3}, \sqrt{3})$ ，由 $\vec{n} \perp \overrightarrow{B C}$ 得 $x+\sqrt{3} y=0$ ；由 $\vec{n} \perp \overrightarrow{B M}$ 得 $\sqrt{3} y+\sqrt{3} z=0$ ；取 $\vec{n}=(\sqrt{3},-1,1), \overrightarrow{B A}=(0,0,2 \sqrt{3})$ ，则距离

$d=\frac{|\overrightarrow{B A} \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}=\frac{2 \sqrt{15}}{5}$
② $\overrightarrow{C M}=(-1,0, \sqrt{3}), \overrightarrow{C A}=(-1,-\sqrt{3}, 2 \sqrt{3})$ ．
设平面 $A C M$ 的法向量为 $\overrightarrow{n_{1}}=(x, y, z)$ ，由 $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_{1}} \perp \overrightarrow{C M} \\ \overrightarrow{n_{1}} \perp \overrightarrow{C A}\end{array}\right.$ 得 $\left\{\begin{array}{l}-x+\sqrt{3} z=0 \\ -x-\sqrt{3} y+2 \sqrt{3} z=0\end{array}\right.$ ．解得 $x=\sqrt{3} z, \quad y=z$ ，取 $\overrightarrow{n_{1}}=(\sqrt{3}, 1,1)$ ．又平面 $B C D$ 的法向量为 $\vec{n}=(0,0,1)$ ，则 $\cos \left\langle\overrightarrow{n_{1}}, \vec{n}\right\rangle=\frac{\overrightarrow{n_{1}} \cdot \vec{n}}{\left|\overrightarrow{n_{1}}\right| \cdot|\vec{n}|}=\frac{1}{\sqrt{5}}$

设所求二面角为 $\theta$ ，则 $\sin \theta=\sqrt{1-\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^{2}}=\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ．
【点评】向量方法作为沟通代数和几何的工具在考察中越来越常见，此类方法的要点在于建立恰当的坐标系，便于计算，位置关系明确，以计算代替分析，起到简化的作用，但计算必须慎之又慎