【答案】(1）Ω(A):3,4,4,5,8,4,3,10
（2）不存在符合条件的W，理由见解析
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）直接按照Ω(A)的定义写出Ω(A)即可；
（2）利用反证法，假设存在符合条件的W，由此列出方程组，进一步说明方程组无解即可；
（3）分充分性和必要性两方面论证.
【小问 1 详解】
由题意得Ω(A):3,4,4,5,8,4,3,10;
【小问2详解】
假设存在符合条件的Ω，可知Ω(A)的第1,2项之和为 $a _ { 1 } + a _ { 2 } + s$ ，第3, 4项之和为 $a _ { 3 } + a _ { 4 } + s$
则 $\begin{array} { c } { { \left\{ \left( a _ { 1 } + 2 \right) + \left( a _ { 2 } + 6 \right) = a _ { 1 } + a _ { 2 } + s \right. } } \\ { { \left. \left( a _ { 3 } + 4 \right) + \left( a _ { 4 } + 2 \right) = a _ { 3 } + a _ { 4 } + s \right. } } \end{array}$ ，而该方程组无解，故假设不成立，
故不存在符合条件 W；的
【小问 3 详解】
我们设序列 $T _ { k } . . . T _ { 2 } T _ { 1 } \left( A \right)$ 为 $\left\{ a _ { k , n } \right\} \left( 1 \leq n \leq 8 \right)$ ，特别规定 $a _ { 0 , n } = a _ { n } \left( 1 \leq n \leq 8 \right)$
必要性：
若存在序列 $\Omega : \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } , . . . , \omega _ { s }$ ，使得Ω(A)为常数列.
则 $a _ { s , 1 } = a _ { s , 2 } = a _ { s , 3 } = a _ { s , 4 } = a _ { s , 5 } = a _ { s , 6 } = a _ { s , 7 } = a _ { s , 8 }$ ，所以 $a _ { s , 1 } + a _ { s , 2 } = a _ { s , 3 } + a _ { s , 4 } = a _ { s , 5 } + a _ { s , 6 } = a _ { s , 7 } + a _ { s , 8 }$
根据 $T _ { k } . . . T _ { 2 } T _ { 1 } \left( A \right)$ 的定义，显然有 $a _ { k , 2 j - 1 } + a _ { k , 2 j } = a _ { k - 1 , 2 j - 1 } + a _ { k - 1 , 2 j }$ ，这里 $j = 1 , 2 , 3 , 4 , \ k = 1 , 2 , \ldots$
所以不断使用该式就得到， $a _ { 1 } + a _ { 2 } = a _ { 3 } + a _ { 4 } = a _ { 5 } + a _ { 6 } = a _ { 7 } + a _ { 8 }$ ，必要性得证.
充分性：
若 $a _ { 1 } + a _ { 2 } = a _ { 3 } + a _ { 4 } = a _ { 5 } + a _ { 6 } = a _ { 7 } + a _ { 8 }$
由已知， $a _ { \scriptscriptstyle 1 } + a _ { \scriptscriptstyle 3 } + a _ { \scriptscriptstyle 5 } + a _ { \scriptscriptstyle 7 }$ 为偶数，而 $a _ { 1 } + a _ { 2 } = a _ { 3 } + a _ { 4 } = a _ { 5 } + a _ { 6 } = a _ { 7 } + a _ { 8 }$ ，所以
$a _ { 2 } + a _ { 4 } + a _ { 6 } + a _ { 8 } = 4 { \left( a _ { 1 } + a _ { 2 } \right) } - { \left( a _ { 1 } + a _ { 3 } + a _ { 5 } + a _ { 7 } \right) }$ 也是偶数.
我们设 $T _ { s } . . . T _ { 2 } T _ { 1 } \left( A \right)$ 是通过合法的序列Ω的变换能得到的所有可能的数列Ω(A)中，使得$\left| a _ { s , 1 } - a _ { s , 2 } \right| + \left| a _ { s , 3 } - a _ { s , 4 } \right| + \left| a _ { s , 5 } - a _ { s , 6 } \right| + \left| a _ { s , 7 } - a _ { s , 8 } \right|$ 最小的一个.
上面已经证明 $a _ { k , 2 j - 1 } + a _ { k , 2 j } = a _ { k - 1 , 2 j - 1 } + a _ { k - 1 , 2 j }$ ，这里 $j = 1 , 2 , 3 , 4 , \ldots$
从而由 $a _ { 1 } + a _ { 2 } = a _ { 3 } + a _ { 4 } = a _ { 5 } + a _ { 6 } = a _ { 7 } + a _ { 8 }$ 可得 $a _ { s , 1 } + a _ { s , 2 } = a _ { s , 3 } + a _ { s , 4 } = a _ { s , 5 } + a _ { s , 6 } = a _ { s , 7 } + a _ { s , 8 }$
同时，由于 $i _ { k } + j _ { k } + s _ { k } + t _ { k }$ 总是偶数，所以 $a _ { k , 1 } + a _ { k , 3 } + a _ { k , 5 } + a _ { k , 7 }$ 和 $a _ { k , 2 } + a _ { k , 4 } + a _ { k , 6 } + a _ { k , 8 }$ 的奇偶性保持不变，从而 $a _ { s , 1 } + a _ { s , 3 } + a _ { s , 5 } + a _ { s , 7 }$ 和 $a _ { s , 2 } + a _ { s , 4 } + a _ { s , 6 } + a _ { s , 8 }$ 都是偶数.
下面证明不存在j =1,2,3,4使得 $\left| a _ { s , 2 j - 1 } - a _ { s , 2 j } \right| \geq 2$
假设存在，根据对称性，不妨设j =1， $a _ { s , 2 j - 1 } - a _ { s , 2 j } \geq 2$ ，即 $a _ { s , 1 } - a _ { s , 2 } \geq 2$
情况1：若 $\left| a _ { s , 3 } - a _ { s , 4 } \right| + \left| a _ { s , 5 } - a _ { s , 6 } \right| + \left| a _ { s , 7 } - a _ { s , 8 } \right| = 0$ ，则由 $a _ { s , 1 } + a _ { s , 3 } + a _ { s , 5 } + a _ { s , 7 }$ 和 $a _ { s , 2 } + a _ { s , 4 } + a _ { s , 6 } + a _ { s , 8 }$ 都 是偶数，知 $a _ { s , 1 } - a _ { s , 2 } \geq 4$
对该数列连续作四次变换(2,3,5,8),(2,4,6,8),(2,3,6,7),(2,4,5,7)后，新的
$\left| a _ { s + 4 , 1 } - a _ { s + 4 , 2 } \right| + \left| a _ { s + 4 , 3 } - a _ { s + 4 , 4 } \right| + \left| a _ { s + 4 , 5 } - a _ { s + 4 , 6 } \right| + \left| a _ { s + 4 , 7 } - a _ { s + 4 , 8 } \right|$ 相比原来的$\left| a _ { s , 1 } - a _ { s , 2 } \right| + \left| a _ { s , 3 } - a _ { s , 4 } \right| + \left| a _ { s , 5 } - a _ { s , 6 } \right| + \left| a _ { s , 7 } - a _ { s , 8 } \right|$ 减少4，这与$\left| a _ { s , 1 } - a _ { s , 2 } \right| + \left| a _ { s , 3 } - a _ { s , 4 } \right| + \left| a _ { s , 5 } - a _ { s , 6 } \right| + \left| a _ { s , 7 } - a _ { s , 8 } \right|$ 的最小性矛盾；
情况 2：若 $\left| a _ { s , 3 } - a _ { s , 4 } \right| + \left| a _ { s , 5 } - a _ { s , 6 } \right| + \left| a _ { s , 7 } - a _ { s , 8 } \right| > 0$ ，不妨设 $\left| a _ { s , 3 } - a _ { s , 4 } \right| > 0$
情况2-1：如果 $a _ { s , 3 } - a _ { s , 4 } \geq 1$ ，则对该数列连续作两次变换(2,4,5,7),(2,4,6,8)后，新的$\left| a _ { s + 2 , 1 } - a _ { s + 2 , 2 } \right| + \left| a _ { s + 2 , 3 } - a _ { s + 2 , 4 } \right| + \left| a _ { s + 2 , 5 } - a _ { s + 2 , 6 } \right| + \left| a _ { s + 2 , 7 } - a _ { s + 2 , 8 } \right|$ 相比原来的$\left| a _ { s , 1 } - a _ { s , 2 } \right| + \left| a _ { s , 3 } - a _ { s , 4 } \right| + \left| a _ { s , 5 } - a _ { s , 6 } \right| + \left| a _ { s , 7 } - a _ { s , 8 } \right|$ 至少减少2，这与$\left| a _ { s , 1 } - a _ { s , 2 } \right| + \left| a _ { s , 3 } - a _ { s , 4 } \right| + \left| a _ { s , 5 } - a _ { s , 6 } \right| + \left| a _ { s , 7 } - a _ { s , 8 } \right|$ 的最小性矛盾；
情况2-2：如果 $a _ { s , 4 } - a _ { s , 3 } \geq 1$ ，则对该数列连续作两次变换(2,3,5,8),(2,3,6,7)后，新的$\left| a _ { s + 2 , 1 } - a _ { s + 2 , 2 } \right| + \left| a _ { s + 2 , 3 } - a _ { s + 2 , 4 } \right| + \left| a _ { s + 2 , 5 } - a _ { s + 2 , 6 } \right| + \left| a _ { s + 2 , 7 } - a _ { s + 2 , 8 } \right|$ 相比原来的$\left| a _ { s , 1 } - a _ { s , 2 } \right| + \left| a _ { s , 3 } - a _ { s , 4 } \right| + \left| a _ { s , 5 } - a _ { s , 6 } \right| + \left| a _ { s , 7 } - a _ { s , 8 } \right|$ 至少减少2，这与$\left| a _ { s , 1 } - a _ { s , 2 } \right| + \left| a _ { s , 3 } - a _ { s , 4 } \right| + \left| a _ { s , 5 } - a _ { s , 6 } \right| + \left| a _ { s , 7 } - a _ { s , 8 } \right|$ 的最小性矛盾.
这就说明无论如何都会导致矛盾，所以对任意的j =1,2,3,4都有 $\left| a _ { s , 2 j - 1 } - a _ { s , 2 j } \right| \leq 1$
假设存在 j =1, 2,3, 4 使得 $\left| a _ { s , 2 j - 1 } - a _ { s , 2 j } \right| = 1$ ，则 $a _ { s , 2 j - 1 } + a _ { s , 2 j }$ 是奇数，所以
$a _ { s , 1 } + a _ { s , 2 } = a _ { s , 3 } + a _ { s , 4 } = a _ { s , 5 } + a _ { s , 6 } = a _ { s , 7 } + a _ { s , 8 }$ 都是奇数，设为2 1N+ .
则此时对任意 j =1, 2,3, 4 ，由 $\left| a _ { s , 2 j - 1 } - a _ { s , 2 j } \right| \leq 1$ 可知必有 $\left\{ a _ { s , 2 j - 1 } , a _ { s , 2 j } \right\} = \left\{ N , N + 1 \right\}$
而 $a _ { s , 1 } + a _ { s , 3 } + a _ { s , 5 } + a _ { s , 7 }$ 和 $a _ { s , 2 } + a _ { s , 4 } + a _ { s , 6 } + a _ { s , 8 }$ 都是偶数，故集合 $\left\{ m | a _ { s , m } = N \right\}$ 中的四个元素 $i , j , s , t$ 之和为偶数，对该数列进行一次变换(i,j,s,t)，则该数列成为常数列，新的
$\left| a _ { s + 1 , 1 } - a _ { s + 1 , 2 } \right| + \left| a _ { s + 1 , 3 } - a _ { s + 1 , 4 } \right| + \left| a _ { s + 1 , 5 } - a _ { s + 1 , 6 } \right| + \left| a _ { s + 1 , 7 } - a _ { s + 1 , 8 } \right|$ 等于零，比原来的
$\left| a _ { s , 1 } - a _ { s , 2 } \right| + \left| a _ { s , 3 } - a _ { s , 4 } \right| + \left| a _ { s , 5 } - a _ { s , 6 } \right| + \left| a _ { s , 7 } - a _ { s , 8 } \right|$ 更小，这与
$\left| a _ { s , 1 } - a _ { s , 2 } \right| + \left| a _ { s , 3 } - a _ { s , 4 } \right| + \left| a _ { s , 5 } - a _ { s , 6 } \right| + \left| a _ { s , 7 } - a _ { s , 8 } \right|$ 的最小性矛盾.
综上，只可能 $\big | a _ { s , 2 j - 1 } - a _ { s , 2 j } \big | = 0 \big ( j = 1 , 2 , 3 , 4 \big )$ ，而 $a _ { s , 1 } + a _ { s , 2 } = a _ { s , 3 } + a _ { s , 4 } = a _ { s , 5 } + a _ { s , 6 } = a _ { s , 7 } + a _ { s , 8 }$ ，故$\left\{ a _ { s , n } \right\} = \Omega ( A )$ 是常数列，充分性得证.
【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键在于对新定义的理解，以及对其本质的分析.