2011_浙江卷 (2011·文)
20．（14分）（2011•浙江）如图，在三棱锥 $\mathrm{P}-\mathrm{ABC}$ 中， $\mathrm{AB}=\mathrm{AC}, \mathrm{D}$ 为 BC 的中点， $\mathrm{PO} \perp$ 平面 ABC ，垂足 O 落在线段 AD 上。
（ I ）证明： $\mathrm{AP} \perp \mathrm{BC}$ ；
（II）已知 $\mathrm{BC}=8, \mathrm{PO}=4, \mathrm{AO}=3, \mathrm{OD}=2$ ．求二面角 $\mathrm{B}-\mathrm{AP}-\mathrm{C}$ 的大小．
【考点】与二面角有关的立体几何综合题；空间中直线与直线之间的位置关系；二面角的平面角及求法．
【专题】空间位置关系与距离；空间角；立体几何．
【分析】（I）由题意．因为 $\mathrm{PO} \perp$ 平面 ABC ，垂足 O 落在线段 AD 上所以 $\mathrm{BC} \perp \mathrm{PO}$ ．有 $\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$ ， D 为 BC 的中点，得到 $\mathrm{BC} \perp \mathrm{AD}$ ，进而得到线面垂直，即可得到所证；
（II）有（I）利用面面垂直的判定得到 $\mathrm{PA} \perp$ 平面 BMC ，再利用二面角的定义得到二面角的平面角，然后求出即可。
【解答】解：（I）由题意画出图如下：
由 $A B=A C$ ，$D$ 为 $B C$ 的中点，得 $A D \perp B C$ ，
又 $P O \perp$ 平面 $A B C$ ，垂足 $O$ 落在线段 $A D$ 上，得到 $P O \perp B C$ ，
$\because \mathrm{PO} \cap \mathrm{AD}=\mathrm{O} \therefore \mathrm{BC} \perp$ 平面 PAD ，故 $\mathrm{BC} \perp \mathrm{PA}$ ．
（II）如图，在平面 PAB 中作 $\mathrm{BM} \perp \mathrm{PA}$ 于 M ，连接 CM ，
$\because \mathrm{BC} \perp \mathrm{PA}, \quad \therefore \mathrm{PA} \perp$ 平面 $\mathrm{BMC}, \quad \therefore \mathrm{AP} \perp \mathrm{CM}$ ，故 $\angle \mathrm{BMC}$ 为二面角 $\mathrm{B}-\mathrm{AP}-\mathrm{C}$ 的平面角，
在直角三角形 ADB 中， $\mathrm{AB}^{2}=\mathrm{AD}^{2}+\mathrm{BD}^{2}=41$ 得： $\mathrm{AB}=\sqrt{41}$ ；
在直角三角形 POD 中， $\mathrm{PD}^{2}=\mathrm{PO}^{2}+\mathrm{OD}^{2}$ ，在直角三角形 PDB 中， $\mathrm{PB}^{2}=\mathrm{PD}^{2}+\mathrm{BD}^{2}, \therefore \mathrm{~PB}^{2}=\mathrm{PO}^{2}+ \mathrm{OD}^{2}+\mathrm{BD}^{2}=36$ ，得 $\mathrm{PB}=6$ ，
在直角三角形 $P O A$ 中，$P A^{2}=A O^{2}+O P^{2}=25$ ，得 $P A=5$ ，
又 $\cos \angle \mathrm{BPA}=\frac{\mathrm{PA}^{2}+\mathrm{PB}^{2}-\mathrm{AB}^{2}}{2 \mathrm{PA} \cdot \mathrm{PB}}=\frac{1}{3}$ ，从而 $\sin \angle \mathrm{BPA}=\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ．
故 $\mathrm{BM}=\mathrm{PB} \sin \angle \mathrm{BPA}=4 \sqrt{2}$ ．同理： $\mathrm{CM}=4 \sqrt{2}$ ，
$\because \mathrm{BM}^{2}+\mathrm{MC}^{2}=\mathrm{BC}^{2}, \quad \therefore$ 二面角 $\mathrm{B}-\mathrm{AP}-\mathrm{C}$ 的大小为 $90^{\circ}$ 。
【点评】（I）此问考查了线面垂直的判定定理，还考查了线面垂直的性质定理；
（II）此问考查了面面垂直的判定定理，二面角的平面角的定义，还考查了在三角形中求解。