己知椭圆 x ^ 2 9 + y ^ 2 6 = 1 ,…——2023 高考数学第 12 题答案解析

【答案】B

【解析】

**方法一**：根据焦点三角形面积公式求出 $\triangle P F _ { 1 } F _ { 2 }$ 的面积，即可得到点P的坐标，从而得出 $\left| O P \right|$ 的值；

**方法二**：利用椭圆的定义以及余弦定理求出 $\left| P F _ { 1 } \right| \left| P F _ { 2 } \right| , \left| P F _ { 1 } \right| ^ { 2 } + \left| P F _ { 2 } \right| ^ { 2 }$ ，再结合中线的向量公式以及数量积即可求出；

**方法三**：利用椭圆的定义以及余弦定理求出 $\left| P F _ { 1 } \right| ^ { 2 } + \left| P F _ { 2 } \right| ^ { 2 }$ ，即可根据中线定理求出

**方法一**：设 $\angle F _ { 1 } P F _ { 2 } = 2 \theta , 0 < \theta < \frac { \pi } { 2 }$ ，所以 $S _ { \scriptscriptstyle \triangle P F _ { 1 } F _ { 2 } } = b ^ { 2 } \tan \frac { \angle F _ { 1 } P F _ { 2 } } { 2 } = b ^ { 2 } \tan \theta$

由 $\cos \angle F _ { 1 } P F _ { 2 } = \cos 2 \theta = { \frac { \cos ^ { 2 } \theta - \sin ^ { 2 } \theta } { \cos ^ { 2 } \theta + \sin ^ { 2 } \theta } } = { \frac { 1 - \tan ^ { 2 } \theta } { 1 + \tan ^ { 2 } \theta } } = { \frac { 3 } { 5 } }$ ，解得： $\tan \theta = \frac { 1 } { 2 }$

由椭圆方程可知， $a ^ { 2 } = 9 , b ^ { 2 } = 6 , c ^ { 2 } = a ^ { 2 } - b ^ { 2 } = 3$

所以， $S _ { _ { \Delta P F _ { 1 } F _ { 2 } } } = \frac { 1 } { 2 } \times \left| F _ { 1 } F _ { 2 } \right| \times \left| y _ { _ { p } } \right| = \frac { 1 } { 2 } \times 2 \sqrt { 3 } \times \left| y _ { _ { p } } \right| = 6 \times \frac { 1 } { 2 }$ ，解得： $y _ { p } ^ { 2 } = 3$

即 $x _ { p } ^ { 2 } = 9 \times \left( 1 - \frac { 3 } { 6 } \right) = \frac { 9 } { 2 }$ ，因此 $\left| O P \right| = \sqrt { x _ { p } ^ { 2 } + y _ { p } ^ { 2 } } = \sqrt { 3 + \frac { 9 } { 2 } } = \frac { \sqrt { 3 0 } } { 2 }$

故选：B

**方法二**：因为 $\left| P F _ { 1 } \right| + \left| P F _ { 2 } \right| = 2 a = 6 \mathbb { G } , \left| P F _ { 1 } \right| ^ { 2 } + \left| P F _ { 2 } \right| ^ { 2 } - 2 \big | P F _ { 1 } \big | \big | P F _ { 2 } \big | \angle F _ { 1 } P F _ { 2 } = \left| F _ { 1 } F _ { 2 } \right| ^ { 2 } ,$

即 $\big | P F _ { 1 } \big | ^ { 2 } + \big | P F _ { 2 } \big | ^ { 2 } - \frac 6 5 \big | P F _ { 1 } \big | \big | P F _ { 2 } \big | = 1 2 \textcircled { 2 }$ ，联立①②，

解得： $\left| P F _ { 1 } \right| \left| P F _ { 2 } \right| = \frac { 1 5 } { 2 } , \left| P F _ { 1 } \right| ^ { 2 } + \left| P F _ { 2 } \right| ^ { 2 } = 2 1$

而 $\overrightarrow { P O } = \frac { 1 } { 2 } \Big ( \overrightarrow { P F _ { 1 } } + \overrightarrow { P F _ { 2 } } \Big )$ ，所以 $\left| O P \right| = \left| \overrightarrow { P O } \right| = \frac { 1 } { 2 } \left| \overrightarrow { P F _ { 1 } } + \overrightarrow { P F _ { 2 } } \right|$

$$ \left| \overrightarrow {P O} \right| = \frac {1}{2} \left| \overrightarrow {P F _ {1}} + \overrightarrow {P F _ {2}} \right| = \frac {1}{2} \sqrt {\left| \overrightarrow {P F _ {1}} \right| ^ {2} + 2 \overrightarrow {P F _ {1}} \cdot \overrightarrow {P F _ {2}} + \left| \overrightarrow {P F _ {2}} \right| ^ {2}} = \frac {1}{2} \sqrt {2 1 + 2 \times \frac {3}{5} \times \frac {1 5}{2}} = \frac {\sqrt {3 0}}{2} $$

故选：B

**方法三**：因为 $\left| P F _ { 1 } \right| + \left| P F _ { 2 } \right| = 2 a = 6 \mathbb { \ O } , \ \left| P F _ { 1 } \right| ^ { 2 } + \left| P F _ { 2 } \right| ^ { 2 } - 2 \left| P F _ { 1 } \right| \left| P F _ { 2 } \right| \angle F _ { 1 } P F _ { 2 } = \left| F _ { 1 } F _ { 2 } \right| ^ { 2 }$

即 $\big | P F _ { 1 } \big | ^ { 2 } + \big | P F _ { 2 } \big | ^ { 2 } - \frac 6 5 \big | P F _ { 1 } \big | \big | P F _ { 2 } \big | = 1 2 \textcircled { 2 }$ ，联立①②，解得： $\left| P F _ { 1 } \right| ^ { 2 } + \left| P F _ { 2 } \right| ^ { 2 } = 2 1$

由中线定理可知， ${ \left( 2 \left. O P \right. \right) ^ { 2 } + \left. F _ { 1 } F _ { 2 } \right. ^ { 2 } = 2 \left( \left. P F _ { 1 } \right. ^ { 2 } + \left. P F _ { 2 } \right. ^ { 2 } \right) = 4 2 }$ ，易知 $\left| F _ { 1 } F _ { 2 } \right| = 2 \sqrt { 3 }$ ，解得： $\left| O P \right| = \frac { \sqrt { 3 0 } } { 2 }$ 故选：B

【点睛】本题根据求解 目标可以选择利用椭圆中的二级结论焦点三角形的面积公式快速解出，也可以常的规利用定义结合余弦定理，以及向量的数量积解决中线问题的方式解决，还可以直接用中线定理解决，难度不是很大