【解答】
（14分）（2008•山东）如图，设抛物线方程为 $\scriptstyle \mathbf { x } ^ { 2 } = 2 { \mathrm { p y ~ } } ( { \mathrm { p } } > 0 )$ ），M为直线 $\mathtt { y } = - \mathtt { 2 p }$ 上任意一点，过 M 引抛物线的切线，切点分别为 A，B
（Ⅰ）求证：A，M，B 三点的横坐标成等差数列；
（Ⅱ）已知当M点的坐标为 $( 2 , \quad - 2 { \mathsf { p } } )$ 时， $\left| \mathbb { A B } \right| = 4 \sqrt { 1 0 }$．求此时抛物线的方程；
（Ⅲ）是否存在点M，使得点 C关于直线AB的对称点D在抛物线 $\scriptstyle \mathbf { x } ^ { 2 } = 2 { \mathrm { p y ~ } } ( { \mathrm { p } } > 0 )$ 上，其中，点 C 满足 $\overrightarrow { O C } = \overrightarrow { O A } + \overrightarrow { O B }$ （O为坐标原点）．若存在，求出所有适合题意的点M的坐标；若不存在，请说明理由
【分析】（Ⅰ）根据题意先设出A，B和M 的坐标，对抛物线方程求导，进而表示出AM，BM的斜率，则直线AM 和BM的直线方程可得，联立后整理求得 $2 \mathbf { x } _ { 0 } { = } \mathbf { x } _ { 1 } { + } \mathbf { x } _ { 2 }$．推断出A，M，B三点的横坐标成等差数列
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论， $\mathbf { \boldsymbol { x } } _ { 0 } { = } 2$ 代入抛物线方程整理推断出 $\mathbf { X } _ { 1 } , \mathbf { \mu } _ { \mathbf { X } _ { 2 } }$ 是方程 $\mathrm { x } ^ { 2 } - 4 \mathrm { x } - 4 \mathrm { p } ^ { 2 } \mathrm { = } 0$ 的两根，利用韦达定理求得 ${ \bf X } _ { 1 } + { \bf X } _ { 2 }$ 的值，表示出直线AB的方程，利用弦长公式求得 $| \mathrm { A B } |$ 进而求得p，则抛物线的方程可得
（Ⅲ）设出D点的坐标，进而表示出C的坐标，则CD 的中点的坐标可得，代入直线AB的方程，把D点坐标代入抛物线的方程，求得 ${ \bf X } _ { 3 }$，然后讨论 $\scriptstyle \mathbf { X } _ { 0 } = 0$ 和 $\mathrm { x } _ { 0 } { \neq } 0$ 时，两种情况，分析出答案
【解答】解：（Ⅰ）证明：由题意设
A $( \mathbf { \Delta x } _ { 1 } , ~ \frac { \mathbf { x } _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 \mathbf { p } } )$ , B(x2 x2 , x1< x2, M(x0, −2p) . 2p
由 $\mathtt { x } ^ { 2 } { = } 2 \mathtt { p y }$ 得 $\scriptstyle \mathbf { y } = { \frac { \mathbf { x } ^ { 2 } } { 2 \mathbf { p } } } ,$ 得 $\textbf { y } ^ { \prime } = \frac { \textbf { x } } { \textbf { p } }$
所以 $\mathrm { k _ { \tt N A } = \frac { \tt X _ { 1 } } { \tt P } , k _ { \tt N B } = \frac { \tt X _ { 2 } } { \tt p } } ,$
因此直线MA的方程为 $\scriptstyle \mathtt { y } + 2 \mathtt { p } = \frac { \mathtt { x } _ { 1 } } { \mathtt { p } } ( \mathtt { x } - \mathtt { x } _ { 0 } )$
直线MB的方程为 $\bf y + \mathrm { 2 p = \frac { x _ { 2 } } { p } ( \bf x - \bf x _ { 0 } ) }$
所以 $\frac { \mathbf { x } _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 \mathbf { p } } + 2 \mathbf { p } = \frac { \mathbf { x } _ { 1 } } { \mathbf { p } } ( \mathbf { \delta } _ { \mathbf { x } _ { 1 } } - \mathbf { \delta } _ { \mathbf { x } _ { 0 } } ) , \textcircled { 1 } \frac { \mathbf { x } _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 \mathbf { p } } + 2 \mathbf { p } = \frac { \mathbf { x } _ { 2 } } { \mathbf { p } } ( \mathbf { \delta } _ { \mathbf { x } _ { 2 } } - \mathbf { \delta } _ { \mathbf { x } _ { 0 } } )$．②
由①、②得 $\frac { \mathbf { x } _ { 1 } + \mathbf { x } _ { 2 } } { 2 } \mathbf { = x } _ { 1 } + \mathbf { x } _ { 2 } - \mathbf { x } _ { 0 } ,$
因此 $\mathbf { x } _ { 0 } = \frac { \mathbf { x } _ { 1 } + \mathbf { x } _ { 2 } } { 2 }$，即 $2 \mathbf { x } _ { 0 } { = } \mathbf { x } _ { 1 } { + } \mathbf { x } _ { 2 }$
所以 $\mathbf { A } , \ \mathbf { M } , \ \mathbf { B } \equiv$ 点的横坐标成等差数列
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，当 $\mathbf { \boldsymbol { x } } _ { 0 } { = } 2$ 时，
将其代入①、②并整理得： $\mathrm { \bf { x } } _ { 1 } { } ^ { 2 } - 4 \mathrm { \bf { x } } _ { 1 } - 4 \mathrm { \bf { p } } ^ { 2 } { = } 0 , \mathrm { \bf { x } } _ { 2 } { } ^ { 2 } - 4 \mathrm { \bf { x } } _ { 2 } - 4 \mathrm { \bf { p } } ^ { 2 } { = } 0$
所以 $\mathbf { X } _ { 1 } , \mathbf { \mu } _ { \mathbf { X } _ { 2 } }$ 是方程 $\mathrm { x } ^ { 2 } - 4 \mathrm { x } - 4 \mathrm { p } ^ { 2 } \mathrm { = } 0$ 的两根，
因此 $\mathrm { x } _ { 1 } + \mathrm { x } _ { 2 } { = } 4 , \mathrm { x } _ { 1 } \mathrm { x } _ { 2 } { = } \ - \ 4 \mathrm { p } ^ { 2 }$
又 $\displaystyle \mathbf { k _ { \mathtt { A B } } } = \frac { \frac { \mathbf { x } _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 \mathbf { p } } - \frac { \mathbf { x } _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 \mathbf { p } } } { \mathbf { x } _ { 2 } - \mathbf { \xi } \mathbf { x } _ { 1 } } \mathbf { = } \frac { \mathbf { x } _ { 1 } + \mathbf { x } _ { 2 } } { 2 \mathbf { p } } \mathbf { = } \frac { \mathbf { x } _ { 0 } } { \mathbf { p } } ,$
所以 $k _ { A B } = \frac { 2 } { p } \cdot$
由弦长公式得 $| \mathbb { A } \mathbb { B } | = \sqrt { 1 + \operatorname { k } ^ { 2 } } \sqrt { \textbf { ( } \mathtt { x } _ { 1 } + \mathtt { x } _ { 2 } \mathtt { ) } ^ { \ 2 } - 4 \mathtt { x } _ { 1 } \mathtt { x } _ { 2 } } = \sqrt { 1 + \frac { 4 } { \mathtt { p } ^ { 2 } } } \sqrt { 1 6 + 1 6 \mathtt { p } ^ { 2 } } .$
又 $\left| \mathbb { A B } \right| { = } 4 \sqrt { 1 0 } .$
所以 p=1 或 $\mathtt { p } { = } 2$，
因此所求抛物线方程为 $\mathrm { x } ^ { 2 } { = } 2 \mathrm { y }$ 或 $\scriptstyle \mathbf { X } ^ { 2 } = 4 \mathbf { y }$
（Ⅲ）解：设 $\mathrm { ~ D ~ } ( \mathbf { { x } } _ { 3 } , \mathbf { { y } } _ { 3 } )$，由题意得 $\mathrm { ~ \bf ~ C ~ } ( { \bf x } _ { 1 } { + } { \bf x } _ { 2 } , { \bf y } _ { 1 } { + } { \bf y } _ { 2 } )$
则CD的中点坐标为 $\ Q \ ( { \frac { { \bf x } _ { 1 } + { \bf x } _ { 2 } + { \bf x } _ { 3 } } { 2 } } , \ { \frac { { \bf y } _ { 1 } + { \bf y } _ { 2 } + { \bf y } _ { 3 } } { 2 } } )$
设直线AB 的方程为 $\mathbf { y } - \mathbf { y } _ { 1 } = \frac { \mathbf { x } _ { 0 } } { \mathbf { p } } ( \mathbf { x } - \mathbf { x } _ { 1 } )$
由点Q在直线AB 上，并注意到点 $( { \frac { { \bf x } _ { 1 } + { \bf x } _ { 2 } } { 2 } } , ~ { \frac { { \bf y } _ { 1 } + { \bf y } _ { 2 } } { 2 } } )$ 也在直线AB上，
代入得 $y _ { 3 } = \frac { x _ { 0 } } { y } \times 3$
若 D $( \mathbf { \{ x } _ { 3 } , \mathbf { \{ y } _ { 3 } )$ 在抛物线上，则 $\mathrm { x } _ { 3 } \mathrm { \ z = } 2 \mathrm { p y } _ { 3 } \mathrm { = } 2 \mathrm { x } _ { 0 } \mathrm { x } _ { 3 }$
因此 $\mathbf { \delta X } _ { 3 } { = } 0$ 或 ${ \bf x } _ { 3 } { = } 2 { \bf x } _ { 0 }$
即 D（0，0）或 $( 2 \mathbf { x } _ { 0 } , \ { \frac { 2 \mathbf { x } _ { 0 } ^ { 2 } } { \mathbf { p } } } )$
> ①当 $\scriptstyle \mathbf { \boldsymbol { x } } _ { 0 } = 0$ 时，则 $\mathbf { x } _ { 1 } + \mathbf { x } _ { 2 } { = } 2 \mathbf { x } _ { 0 } { = } 0$，此时，点 $\mathrm { ~ \bf ~ M ~ } \left( 0 , \mathrm { ~ \bf ~ \tau ~ } - 2 { \bf p } \right)$ 适合题意
> ②当 $\mathrm { x } _ { 0 } { \neq } 0$，对于 D（0，0），此时 $\texttt { C } ( \boldsymbol { 2 } _ { \texttt { x } _ { 0 } } , \ \frac { \texttt { x } _ { 1 } ^ { 2 } + \texttt { x } _ { 2 } ^ { 2 } } { \boldsymbol { 2 } _ { \texttt { p } } } )$ $\mathtt { k } _ { \mathtt { C D } } = \frac { \frac { \mathtt { x } _ { 1 } ^ { 2 } + \mathtt { x } _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 \mathtt { p } } } { 2 \mathtt { x } _ { 0 } } \frac { \mathtt { x } _ { 1 } ^ { 2 } + \mathtt { x } _ { 2 } ^ { 2 } } { 4 \mathtt { p } \mathtt { x } _ { 0 } } ,$
又 $k _ { \Delta \mathbb { B } } = \frac { \mathbf { x } _ { 0 } } { \mathbf { p } } , ~ \mathrm { A B \bot C D }$
所以 $\bf k _ { \tt A B } \cdot \bf k _ { \tt C D } = \frac { \bf x _ { \tt 0 } } { \tt p } \bullet \frac { \bf x _ { 1 } ^ { 2 } + \bf x _ { 2 } ^ { 2 } } { 4 \tt p \cdot \tt x _ { 0 } } = \frac { \bf x _ { 1 } ^ { 2 } + \bf x _ { 2 } ^ { 2 } } { 4 { \tt p } ^ { 2 } } = - 1$
即 $\mathrm { x _ { 1 } } ^ { 2 } + \mathrm { x _ { 2 } } ^ { 2 } = \mathrm { ~ - ~ } 4 \mathrm { p } ^ { 2 }$，矛盾
对于 $( \boldsymbol { 2 } _ { \mathbf { x } _ { 0 } } , \ \frac { 2 \mathbf { x } _ { 0 } ^ { 2 } } { \mathbf { p } } )$，因为 $\texttt { C } ( \boldsymbol { 2 } _ { \texttt { x } _ { 0 } } , \ \frac { \texttt { x } _ { 1 } ^ { 2 } + \texttt { x } _ { 2 } ^ { 2 } } { \boldsymbol { 2 } _ { \texttt { p } } } )$，此时直线 CD 平行于 y 轴，
又 $\mathrm { k _ { \mathrm { \Delta a B } } = \frac { x _ { 0 } } { p } \neq 0 }$
所以直线AB 与直线CD 不垂直，与题设矛盾，
所以 $\mathbf { \boldsymbol { x } } _ { 0 } { \neq } 0$ 时，不存在符合题意的 M 点
综上所述，仅存在一点 $\mathrm { ~ \bf ~ M ~ } \left( 0 , \mathrm { ~ \bf ~ \tau ~ } - 2 { \bf p } \right)$ ）适合题意
参与本试卷答题和审题的老师有：wubh2011；rxl；yhx01248；翔宇老师；涨停；qiss； wdlxh；wdnah；zlzhan；sllwyn；杨南；danbo7801；小张老师；wsj1012；邢新丽；zhwsd （排名不分先后）
2016 年 4 月 12 日
