2022_全国乙卷
4. 嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列 $\{b_{n}\}$ ： $b_{1} = 1 + \frac{1}{\alpha_{1}}$ ， $b_{2} = 1 + \frac{1}{\alpha_{1} + \frac{1}{\alpha_{2}}}$ ， $b_{3} = 1 + \frac{1}{\alpha_{1} + \frac{1}{\alpha_{2} + \frac{1}{\alpha_{3}}}}$ ，…，依此类推，其中 $\alpha_{k} \in \mathbf{N}^{*}(k = 1,2,\dots)$ 。则（ ）
D
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【答案】D
【解析】
【分析】根据 $\alpha_{k} \in \mathbf{N}^{*}(k=1,2,\ldots)$ ，再利用数列 $\{b_{n}\}$ 与 $\alpha_{k}$ 的关系判断 $\{b_{n}\}$ 中各项的大小，即可求解.
**方法一**：常规解法
因为 $\alpha_{k} \in \mathbf{N}^{*}(k=1,2,\cdots)$
所以 $\alpha_{1}<\alpha_{1}+\frac{1}{\alpha_{2}},\quad\frac{1}{\alpha_{1}}>\frac{1}{\alpha_{1}+\frac{1}{\alpha_{2}}}$ ，得到 $b_{1}>b_{2}$ ，
同理 $\alpha_{1}+\frac{1}{\alpha_{2}}> \alpha_{1}+\frac{1}{\alpha_{2}+\frac{1}{\alpha_{3}}}$ ，可得 $b_{2}<b_{3}$ ， $b_{1}>b_{3}$
又因为 $\frac{1}{\alpha_2} >\frac{1}{\alpha_2 + \frac{1}{\alpha_3 + \frac{1}{\alpha_4}}},\alpha_1 + \frac{1}{\alpha_2 + \frac{1}{\alpha_3}} < \alpha_1 + \frac{1}{\alpha_2 + \frac{1}{\alpha_3 + \frac{1}{\alpha_4}}},$
故 $b_{2}<b_{4}$ ， $b_{3}>b_{4}$ ;
以此类推，可得 $b_{1}>b_{3}>b_{5}>b_{7}>\ldots$ ， $b_{7}>b_{8}$ ，故A错误；
$b_{1}>b_{7}>b_{8}$ ，故 B 错误；
$\frac{1}{\alpha_2} >\frac{1}{\alpha_2 + \frac{1}{\alpha_3 + \ldots\frac{1}{\alpha_6}}}$ ，得 $b_{2} < b_{6}$ ，故C错误；
$\alpha_{1} + \frac{1}{\alpha_{2} + \frac{1}{\alpha_{3} + \frac{1}{\alpha_{4}}}} > \alpha_{1} + \frac{1}{\alpha_{2} + \dots\frac{1}{\alpha_{6} + \frac{1}{\alpha_{7}}}}$ ，得 $b_{4} < b_{7}$ ，故D正确.
**方法二**：特值法
不妨设 $a_{n} = 1$ ，则 $\mathrm{b}_1 = 2, \mathrm{b}_2 = \frac{3}{2}, \mathrm{b}_3 = \frac{5}{3}, \mathrm{b}_4 = \frac{8}{5}, \mathrm{b}_5 = \frac{13}{8}, \mathrm{b}_6 = \frac{21}{13}, \mathrm{b}_7 = \frac{34}{21}, \mathrm{b}_8 = \frac{55}{34}$
$b_{4}<b_{7}$ 故 D 正确.