（12分）设函数 f(x)= sin x 2+cos x…——2008 高考数学第 22 题答案解析

【考点】3R：函数恒成立问题；6B：利用导数研究函数的单调性．
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】①先确定函数的定义域然后求导数 $f^{\prime}(x)$ ，在函数的定义域内解不等式 $f^{\prime}(x)>0$ 和 $f^{\prime}(x)<0$ ，求出单调区间。
②令 $g(x)=a x-f(x)$ ，根据导数研究单调性的方法，即转化成研究对任何 $x \geq 0$ ，都有 $g(x) \geq 0$ 恒成立，再利用分类讨论的方法求出 $a$ 的范围。
【解答】解：（I ）$f^{\prime}(x)=\frac{(2+\cos x) \cos x-\sin x(-\sin x)}{(2+\cos x)^{2}}=\frac{2 \cos x+1}{(2+\cos x)^{2}}$ ． ）

当 $2 k \pi-\frac{2 \pi}{3}-\frac{1}{2}$ ，即 $f^{\prime}(x)>0$ ；
当 $2 k \pi+\frac{2 \pi}{3}因此 $f(x)$ 在每一个区间 $\left(2 k \pi-\frac{2 \pi}{3}, 2 k \pi+\frac{2 \pi}{3}\right)(k \in Z)$ 是增函数，$f(x)$ 在每一个区间 $\left(2 k \pi+\frac{2 \pi}{3}, 2 k \pi+\frac{4 \pi}{3}\right)(k \in Z)$ 是减函数。（6分）
（II）令 $g(x)=a x-f(x)$ ，则 $g^{\prime}(x)=a \frac{2 \cos x+1}{(2+\cos x)^{2}}=a-\frac{2}{2+\cos x}+\frac{3}{(2+\cos x)^{2}} =3\left(\frac{1}{2+\cos x}-\frac{1}{3}\right)^{2}+a-\frac{1}{3}$.
故当 $a \geqslant \frac{1}{3}$ 时，$g^{\prime}(x) \geq 0$ ．
又 $g(0)=0$ ，所以当 $x \geq 0$ 时，$g(x) \geq g(0)=0$ ，即 $f(x) \leq a x . ~(9$ 分）当 $0

故当 $x \in[0, \arccos 3 a)$ 时，$h^{\prime}(x)>0$ ．
因此 $h(x)$ 在 $[0, a r c c o s 3 a)$ 上单调增加．
故当 $x \in(0, \arccos 3 a)$ 时，$h(x)>h(0)=0$ ，
即 $\sin x>3 a x$ 。
于是，当 $x \in(0, \arccos 3 a)$ 时，$f(x)=\frac{\sin x}{2+\cos x}>\frac{\sin x}{3}>a x$ ．
当 $a \leq 0$ 时，有 $f\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{1}{2}>0 \geqslant a \cdot \frac{\pi}{2}$ ．
因此，$a$ 的取值范围是 $\left[\frac{1}{3},+\infty\right)$ 。（12分）
【点评】本小题主要考查函数的导数、单调性、不等式等基础知识，考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力．