在三棱锥 A — B C D 中，已知 C B=C D=…——2020 高考数学第 24 题答案解析

【解答】
在三棱锥 $A$ —
$B C D$ 中，已知 $C B=C D=\sqrt{5}, B D=2, O$ 为 $B D$ 的中点，$A O \perp$ 平面 $B C D, A O=2, E$ 为 $A C$ 的中点．

（1）求直线 $A B$ 与 $D E$ 所成角的余弦值；
（2）若点 $F$ 在 $B C$ 上，满足 $B F=\frac{1}{4} B C$ ，设二面角 $F-D E-C$ 的大小为 $\theta$ ，求 $\sin \theta$ 的值．
【答案】①$\frac{\sqrt{15}}{15}$②$\frac{2 \sqrt{39}}{13}$

## 【解析】

【分析】
（1）建立空间直角坐标系，利用向量数量积求直线向量夹角，即得结果；
（2）先求两个平面法向量，根据向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系得结果．

【详解】

（1）连 $C O Q B C=C D, B O=O D \therefore C O \perp B D$

以 $O B, O C, O A$ 为 $x, y, z$ 轴建立空间直角坐标系，则 $A(0,0,2), B(1,0,0), C(0,2,0), D(-1,0,0) \therefore E(0,1,1)$
$\stackrel{\text { unn }}{\therefore A B}=(1,0,-2), \stackrel{\text { un }}{D E}=(1,1,1) \therefore \cos \langle\stackrel{\text { un un }}{A B, D E}\rangle=\frac{-1}{\sqrt{5} \sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{15}}{15}$
从而直线 $A B$ 与 $D E$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{15}}{15}$
②设平面 $D E C$ 一个法向量为 $\overrightarrow{n_{1}}=(x, y, z)$ ，

$\because \stackrel{\rightharpoonup}{D C}=(1,2,0),\left\{\begin{array}{l}\stackrel{\rightharpoonup}{n_{1}} \cdot \stackrel{\rightharpoonup}{D C}=0 \\ \stackrel{\rightharpoonup}{n_{1}} \cdot \stackrel{\rightharpoonup}{D E}=0\end{array} \therefore\left\{\begin{array}{c}x+2 y=0 \\ x+y+z=0\end{array}\right.\right.$
令 $y=1 \therefore x=-2, z=1 \therefore \stackrel{\mathbf{u}}{n_{1}}=(-2,1,1)$
设平面 $D E F$ 一个法向量为 $\tilde{n}_{2}^{\mathbf{u}}=\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right)$ ，
$\because \overrightarrow{D F}=\overrightarrow{D B}+\overrightarrow{B F}=\overrightarrow{D B}+\frac{1}{4} \overrightarrow{B C}=\left(\frac{7}{4}, \frac{1}{2}, 0\right),\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_{2}} \cdot \overrightarrow{D F}=0 \\ \overrightarrow{n_{2}} \cdot \overrightarrow{D E}=0\end{array} \therefore\left\{\begin{array}{l}\frac{7}{4} x_{1}+\frac{1}{2} y_{1}=0 \\ x_{1}+y_{1}+z_{1}=0\end{array}\right.\right.$
令 $y_{1}=-7 \therefore x_{1}=2, z_{1}=5 \therefore n_{2}^{\mathbf{u}}=(2,-7,5)$
$\therefore \underset{\cos }{\stackrel{\mathbf{u}}{\mathbf{u}}} \stackrel{\mathbf{u}}{n_{1}}, n_{2}>=\frac{-6}{\sqrt{6} \sqrt{78}}=-\frac{1}{\sqrt{13}}$
因此 $\sin \theta=\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{13}}=\frac{2 \sqrt{39}}{13}$
【点睛】本题考查利用向量求线线角与二面角，考查基本分析求解能力，属中档题．