2022_全国甲卷
11. 将一小球水平抛出，使用频闪仪和照相机对运动的小球进行拍摄，频闪仪每隔0.05s发出一次闪光。某次拍摄时，小球在抛出瞬间频闪仪恰好闪光，拍摄的照片编辑后如图所示。图中的第一个小球为抛出瞬间的影像，每相邻两个球之间被删去了 3 个影像，所标出的两个线段的长度 $s _ { 1 }$ 和 $s _ { 2 }$ 之比为 3：7。重力加速度大小取 $g = 1 0 \mathrm { m } / \mathrm { s } ^ { 2 }$ ，忽略空气阻力。求在抛出瞬间小球速度的大小。
${ \frac { 2 { \sqrt { 5 } } } { 5 } } \mathrm { m / s }$
【答案】 ${ \frac { 2 { \sqrt { 5 } } } { 5 } } \mathrm { m / s }$
【解析】
【详解】频闪仪每隔0.05s 发出一次闪光，每相邻两个球之间被删去3个影像，故相邻两球的时间间隔为
$$ t = 4 T = 0 . 0 5 \times 4 \mathrm { s } = 0 . 2 \mathrm { s } $$
设抛出瞬间小球的速度为 $\nu _ { 0 }$ ，每相邻两球间的水平方向上位移为x，竖直方向上的位移分别为 $y _ { 1 }$ 、 $y _ { 2 }$ 根据平抛运动位移公式有
$$ x = \nu _ { 0 } t $$
$$ y _ { 1 } = \frac { 1 } { 2 } g t ^ { 2 } = \frac { 1 } { 2 } { \times } 1 0 { \times } 0 . 2 ^ { 2 } \mathrm { m } = 0 . 2 \mathrm { m } $$
$$ y _ { 2 } = { \frac { 1 } { 2 } } g \left( 2 t \right) ^ { 2 } - { \frac { 1 } { 2 } } g t ^ { 2 } = { \frac { 1 } { 2 } } \times 1 0 \times { \bigl ( } 0 . 4 ^ { 2 } - 0 . 2 ^ { 2 } { \bigr ) } \mathrm { m } = 0 . 6 \mathrm { m } $$
令 $y _ { 1 } = y$ ，则有
$$ y _ { 2 } = 3 y _ { 1 } = 3 y $$
已标注的线段 $S _ { 1 }$ 、 $s _ { 2 }$ 分别为
$$ s _ { 1 } = \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } $$
$$ S _ { 2 } = \sqrt { x ^ { 2 } + \left( 3 y \right) ^ { 2 } } = \sqrt { x ^ { 2 } + 9 y ^ { 2 } } $$
则有
$$ { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } : { \sqrt { x ^ { 2 } + 9 y ^ { 2 } } } = 3 : 7 $$
整理得
$$ x = \frac { 2 \sqrt { 5 } } { 5 } y $$
故在抛出瞬间小球的速度大小为
$$ \nu _ { \mathrm { { 0 } } } = { \frac { x } { t } } = { \frac { 2 { \sqrt { 5 } } } { 5 } } { \mathrm { { m } } } / { \mathrm { { s } } } $$