2024_省自主命题（广西）
11. 单摆可作为研究简谐运动的理想模型。
图甲
图乙
图丙
（1）制作单摆时，在图甲、图乙两种单摆的悬挂方式中，选择图甲方式的目的是要保持摆动中\_\_\_\_\_不变；
（2）用游标卡尺测量摆球直径，测得读数如图丙，则摆球直径为\_\_\_\_\_cm；
（3）若将一个周期为T的单摆，从平衡位置拉开 $5 ^ { \circ }$ 的角度释放，忽略空气阻力，摆球的振动可看为简谐运动。当地重力加速度为 $g _ { \mathrm { i } }$ ，以释放时刻作为计时起点，则摆球偏离平衡位置的位移x与时间t的关系为
(1) 摆长; (2) 1.06 >; (3) $x = { \frac { g T ^ { 2 } \sin 5 ^ { \circ } } { 4 \pi ^ { 2 } } } \cos \left( { \frac { 2 \pi } { T } } t \right)$
【答案】（1）摆长 （2）1.06
> ③ $x = { \frac { g T ^ { 2 } \sin 5 ^ { \circ } } { 4 \pi ^ { 2 } } } \cos \left( { \frac { 2 \pi } { T } } t \right)$
【解析】
【小问 1 详解】
选择图甲方式的目的是要保持摆动中摆长不变；
【小问 2 详解】
摆球直径为
$$ d = 1. 0 \mathrm{cm} + 6 \times 0. 1 \mathrm{mm} = 1. 0 6 \mathrm{cm} $$
【小问 3 详解】
根据单摆的周期公式 $T = 2 \pi { \sqrt { \frac { L } { g } } }$ 可得单摆的摆长为
$$ L = \frac {g T ^ {2}}{4 \pi^ {2}} $$
从平衡位置拉开 $5 ^ { \circ }$ 的角度处释放，可得振幅为
$$ A = L \sin 5^\circ $$
以该位置为计时起点，根据简谐运动规律可得摆球偏离平衡位置的位移x与时间t的关系为
$$ x = A \cos \omega t = \frac {g T ^ {2} \sin 5 ^ {\circ}}{4 \pi^ {2}} \cos \left(\frac {2 \pi}{T} t\right) $$