（本小题满分12分） 已知点 为抛物线F E : y ^…——2015 高考数学第 19 题答案解析

【答案】（Ⅰ） $y ^ { 2 } = 4 x$；（Ⅱ）详见解析

【解析】

解法一：（1）由抛物线的定义得 $\left| \mathrm { A F } \right| = 2 + { \frac { p } { 2 } }$

因为 $\left| \mathrm { A F } \right| = 3$，即 $2 + \frac { p } { 2 } = 3$，解得 $p = 2$，所以抛物线E的方程为 $y ^ { 2 } = 4 x$

(I)因为点A(2,m)在抛物线E: $\boldsymbol { y } ^ { 2 } = 4 \boldsymbol { x } \perp$

所以 $m = \pm 2 \sqrt { 2 }$，由抛物线的对称性，不妨设 $A \left( 2 , 2 { \sqrt { 2 } } \right)$ 1

由 $A ( 2 , 2 \sqrt { 2 } )$，F(1.0)可得直线AF的方程为 $y = 2 \sqrt { 2 } \left( x - 1 \right)$

由 $\left\{ \begin{array} { l } { { y = 2 \sqrt { 2 } \left( x - 1 \right) } } \\ { { y ^ { 2 } = 4 x } } \end{array} \right.$，得 $2 x ^ { 2 } - 5 x + 2 = 0$

解得x=2或 $x = \frac { 1 } { 2 }$，从而E ${ \sqrt { \frac { 1 } { 2 } } } , - { \sqrt { 2 } } )$

又G(-1,0),

所以 $k _ { \tt G A } = \frac { 2 \sqrt { 2 } - 0 } { 2 - ( - 1 ) } = \frac { 2 \sqrt { 2 } } { 3 } , k _ { \tt G B } = \frac { - \sqrt { 2 } - 0 } { \frac { 1 } { 2 } - ( - 1 ) } = - \frac { 2 \sqrt { 2 } } { 3 } ,$

所以 $k _ { @ _ { \mathtt { G a } } } + k _ { \mathtt { G a } } = 0$，从而 $\angle \mathrm { A G F } = \angle \mathrm { B G F }$，这表明点F到直线GA，GB的距离相等故以F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切.

解法二：（1）同解法一.

(II)设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r.

因为点A(2,m)在抛物线E: $\boldsymbol { y } ^ { 2 } = 4 \boldsymbol { x } \perp$

所以 $m = \pm 2 \sqrt { 2 }$，由抛物线的对称性，不妨设 $A ( 2 , 2 \sqrt { 2 } )$

由 $A \left( 2 , 2 { \sqrt { 2 } } \right)$，F(1.0)可得直线AF的方程为 $\nu = 2 \sqrt { 2 } \left( x - 1 \right)$

由 $\left\{ \begin{array} { l } { { \nu = 2 \sqrt { 2 } \left( x - 1 \right) } } \\ { { \nu ^ { 2 } = 4 x } } \end{array} \right.$ $2 x ^ { 2 } - 5 x + 2 = 0$

解得x=2或 $x = \frac { 1 } { 2 }$，从而B $\left( { \frac { 1 } { 2 } } , - { \sqrt { 2 } } \right)$

又G(-1.0)，故直线GA的方程为 $2 { \sqrt { 2 } } x - 3 y + 2 { \sqrt { 2 } } = 0$

从而 $r = { \frac { \left| 2 { \sqrt { 2 } } + 2 { \sqrt { 2 } } \right| } { \sqrt { 8 + 9 } } } = { \frac { 4 { \sqrt { 2 } } } { \sqrt { 1 7 } } }$

又直线GB的方程为 $2 { \sqrt { 2 } } x + 3 y + 2 { \sqrt { 2 } } = 0$

所以点F到直线GB的距离 $d = { \frac { \left| 2 { \sqrt { 2 } } + 2 { \sqrt { 2 } } \right| } { \sqrt { 8 + 9 } } } = { \frac { 4 { \sqrt { 2 } } } { \sqrt { 1 7 } } } = r$

这表明以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切

【考点定位】1、抛物线标准方程；2、直线和圆的位置关系

【名师点睛】利用抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点距离和到准线距离进行转化，从而简化问题的求解过程，在解抛物线问题的同时，一定要善于利用其定义解题．直线和圆的位置关系往往利用几何判断简洁，即圆心到直线的距离与圆的半径比较；若由图形观察，结合平面几何知识，说明 $\angle \mathrm { A G F } = \angle \mathrm { B G F }$ 即可，这样可以把问题转化为判断 $k _ { \mathrm { G A } } + k _ { \mathrm { G B } } = 0$，高效解题的过程就是优化转化的过程