已知 a = 3 1 3 2 , b = cos 1 4…——2022 高考数学第 12 题答案解析

【答案】A

【解析】

【分析】由 $\frac { c } { b } = 4 \tan \frac { 1 } { 4 }$ 结合三角函数的性质可得 $c > b$ ;构造函数 $f \left( x \right) = \cos x + \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } - 1 , x \in \left( 0 , + \infty \right)$ ,利用导数可得 $b > a$ ,即可得解.
【详解】解法1：构造函数
因为当 $x \in \left( 0 , { \frac { \pi } { 2 } } \right) , x < \tan x$
故 $\frac { c } { b } = 4 \tan \frac { 1 } { 4 } > 1$ ，故 $\frac { c } { b } > 1$ ，所以 $c > b$
设 $f ( x ) = \cos x + \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } - 1 , x \in ( 0 , + \infty )$
$f ^ { \prime } ( x ) = - \sin { x } + x > 0$ ，所以 f x( ) 在 (0, )+¥ 单调递增，
故 $f { \Biggl ( } { \frac { 1 } { 4 } } { \Biggr ) } > f ( 0 ) { = } 0$ ，所以 $\cos { \frac { 1 } { 4 } } - { \frac { 3 1 } { 3 2 } } > 0$
所以b a> ，所以 $c > b > a$ ，故选A
解法2：不等式放缩

因为当 $x \in { \left( 0 , { \frac { \pi } { 2 } } \right) } , \sin x < x$

取 $x = \frac { 1 } { 8 }$ 得： $\cos { \frac { 1 } { 4 } } = 1 - 2 \sin ^ { 2 } { \frac { 1 } { 8 } } > 1 - 2 { \left( { \frac { 1 } { 8 } } \right) } ^ { 2 } = { \frac { 3 1 } { 3 2 } }$ ，故 $b > a$

4 ${ \sin { \frac { 1 } { 4 } } + \cos { \frac { 1 } { 4 } } } = { \sqrt { 1 7 } } \sin \left( { \frac { 1 } { 4 } } + \varphi \right)$ ，其中 $\varphi \in \left( 0 , \frac { \pi } { 2 } \right)$ ，且 $\sin \varphi = { \frac { 1 } { \sqrt { 1 7 } } } , \cos \varphi = { \frac { 4 } { \sqrt { 1 7 } } }$

当 4 $\cdot \sin { \frac { 1 } { 4 } } + \cos { \frac { 1 } { 4 } } = \sqrt { 1 7 }$ 时， ${ \frac { 1 } { 4 } } + \varphi = { \frac { \pi } { 2 } }$ ，及 $\varphi = \frac { \pi } { 2 } - \frac { 1 } { 4 }$

此时 $\sin { \frac { 1 } { 4 } } = \cos \varphi = { \frac { 4 } { \sqrt { 1 7 } } } , \cos { \frac { 1 } { 4 } } = \sin \varphi = { \frac { 1 } { \sqrt { 1 7 } } }$

故 $\cos { \frac { 1 } { 4 } } = { \frac { 1 } { \sqrt { 1 7 } } } < { \frac { 4 } { \sqrt { 1 7 } } } = \sin { \frac { 1 } { 4 } } < 4 \sin { \frac { 1 } { 4 } }$ ，故 $b < c$

所以b a> ，所以 $c > b > a$ ，故选 A

解法3：泰勒展开

设 $x = 0 . 2 5$ ，则 $a = \frac { 3 1 } { 3 2 } = 1 - \frac { 0 . 2 5 ^ { 2 } } { 2 } \ : , b = \cos \frac { 1 } { 4 } \approx 1 - \frac { 0 . 2 5 ^ { 2 } } { 2 } + \frac { 0 . 2 5 ^ { 4 } } { 4 ! } =$

$c = 4 \mathrm { s i n } { \frac { 1 } { 4 } } = { \frac { \mathrm { s i n } { \frac { 1 } { 4 } } } { \frac { 1 } { 4 } } } \approx 1 - { \frac { 0 . 2 5 ^ { 2 } } { 3 ! } } + { \frac { 0 . 2 5 ^ { 4 } } { 5 ! } }$ ，计算得 $c > b > a$ ，故选 A.

解法 4：构造函数

因为 $\frac { c } { b } = 4 \tan \frac { 1 } { 4 }$ ，因为当 $x \in \left( 0 , { \frac { \pi } { 2 } } \right) , \sin x < x < \tan x$ ，所以 $\tan { \frac { 1 } { 4 } } > { \frac { 1 } { 4 } }$ ,即 $\frac { c } { b } > 1$ ，所以 $c > b$ ；设$f ( x ) = \cos x + \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } - 1 , x \in ( 0 , + \infty ) , f ^ { \prime } ( x ) = - \sin x + x > 0$ ，所以 f x( ) 在 $( 0 , + \infty )$ 单调递增，则$f { \Biggl ( } { \frac { 1 } { 4 } } { \Biggr ) } > f ( 0 ) { = } 0$ ,所以 $\cos { \frac { 1 } { 4 } } - { \frac { 3 1 } { 3 2 } } > 0$ ，所以b a> ,所以 $c > b > a$

故选：A

解法 5：【最优解】不等式放缩

因为 ${ \frac { c } { b } } = 4 \tan { \frac { 1 } { 4 } }$ ，因为当 $x \in \left( 0 , { \frac { \pi } { 2 } } \right) , \sin x < x < \tan x$ ，所以 $\tan { \frac { 1 } { 4 } } > { \frac { 1 } { 4 } }$ ,即 $\frac { c } { b } > 1$ ，所以 $c > b$ ；因为当$x \in { \left( 0 , { \frac { \pi } { 2 } } \right) } , \sin x < x$ ，取 $x = \frac { 1 } { 8 }$ 得 $\cos { \frac { 1 } { 4 } } = 1 - 2 \sin ^ { 2 } { \frac { 1 } { 8 } } > 1 - 2 { \left( { \frac { 1 } { 8 } } \right) } ^ { 2 } = { \frac { 3 1 } { 3 2 } }$ ，故 $b > a$ ，所以 $c > b > a$

故选：A

【整体点评】法4：利用函数的单调性比较大小，是常见思路，难点在于构造合适的函数，属于通性通法；

法5：利用二倍角公式以及不等式 $x \in \left( 0 , { \frac { \pi } { 2 } } \right) , \sin x < x < \tan x$ 放缩，即可得出大小关系，属于最优解