2015_上海卷 (2015·理)
14、在锐角三角形 ABC 中， $\tan \mathrm{A}=\frac{1}{2}, \mathrm{D}$ 为边 BC 上的点，$\triangle \mathrm{ABD}$ 与 $\triangle \mathrm{ACD}$ 的面积分别为 2 和 4 。过 D 作 $\mathrm{DE} \perp \mathrm{AB}$ 于 $\mathrm{E}, ~ \mathrm{DF} \perp \mathrm{AC}$ 于 F ，则 $\overrightarrow{\mathrm{DE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DF}}=$ $\_\_\_\_$ ．
【答案】 $-\frac{16}{15}$
【解析】由题意得： $\sin A=\frac{1}{\sqrt{5}}, \cos A=\frac{2}{\sqrt{5}}, \frac{1}{2} A B \cdot A C \cdot \sin A=2+4 \Rightarrow A B \cdot A C=12 \sqrt{5}$ ，又 $\frac{1}{2} A B \cdot D E=2, \frac{1}{2} A C \cdot D F=4 \Rightarrow A B \cdot D E \times A C \cdot D F=32 \Rightarrow D E \cdot D F=\frac{32}{12 \sqrt{5}}$ ，因为 $D E A F$ 四点共圆，因此 $\overrightarrow{\mathrm{DE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DF}}=D E \cdot D F \cdot \cos (\pi-A)=\frac{32}{12 \sqrt{5}} \times\left(-\frac{2}{\sqrt{5}}\right)=-\frac{16}{15}$
【考点定位】向量数量积，解三角形